[论文解读] Differential Geometric Foundations for Power Flow Computations

Franz-Erich Wolter, Benjamin Berger+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Real-time simulation and control systems参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文建立了一个微分几何框架，用于分析潮流解流形，重点研究解空间边界（SSB），通过曲率、切空间和正交投影展开分析。提出一种高精度局部反演方法，用于在奇点附近处理潮流映射，结合几何分解与二次折叠/展开技术，实现对SSB的精确延续与距离估计，同时通过拓扑分析否定了平面SSB截面中存在分叉型分支的可能。

ABSTRACT

This paper aims to systematically and comprehensively initiate a foundation for using concepts from computational differential geometry as instruments for power flow computing and research. At this point we focus our discussion on the static case, with power flow equations given by quadratic functions defined on voltage space with values in power space; both spaces have real Euclidean coordinates. The central issue is a differential geometric analysis of the power flow solution space boundary (SSB, also in a simplifying way, called saddle node bifurcation set, SNB) both in voltage and in power space. We present different methods for computing tangent vectors, tangent planes and normals of the SSB and the normals' derivatives. Using the latter we compute normal and principal curvatures. All this is needed for tracing the orthogonal projection of points on curves in voltage or power space onto the SSB on points closest to the given points on the curve, thus obtaining estimates for their distance to the SSB. As another example how these concepts can be useful, we present a new high precision continuation method for power flow solutions close to and on the SSB called local inversion of the power flow map from voltage to power space, assuming the dimension of power flow's Jacobean zero space, called KERNEL, is one. For inversion, we present two different geometry-based splitting techniques with one of them using the aforementioned orthogonal tracing method.

研究动机与目标

• 系统性地将计算微分几何应用于静态潮流问题，特别是解空间边界（SSB）的分析。
• 开发几何工具——切平面、法向量、曲率——用于在电压空间与功率空间中分析SSB。
• 通过潮流映射的局部反演，实现SSB附近潮流解的高精度延续。
• 通过拓扑分析否定平面SSB截面中观察到的分叉型分支现象，与数值结果相悖。
• 探索测地坐标在高维电力系统中复杂、受约束解流形参数化中的应用。

提出的方法

• 利用微分几何技术对二次潮流映射进行计算，获得SSB的切向量、切平面与法向量。
• 推导SSB的法曲率与主曲率，以量化其局部形状与曲率特性。
• 通过将电压空间或功率空间中的曲线正交投影到SSB上，估算其到边界的距离。
• 提出一种在SSB附近的潮流映射局部反演方法，假设雅可比矩阵的核（KERNEL）为一维。
• 采用两种几何分解技术：一种基于正交追踪，另一种基于在1D核上受限的奇异二次折叠构造的展开。
• 应用测地坐标对解流形进行参数化，实现高维系统中坐标变换与约束兼容映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将微分几何概念（如曲率与法向量）应用于电压空间与功率空间中的潮流解空间边界（SSB）？
• RQ2 对SSB进行曲线正交投影是否能提供对稳定边界距离的准确估计？
• RQ3 何种几何结构使得在雅可比核为一维时，能够实现潮流映射在SSB附近的高精度局部反演？
• RQ4 SSB在平面截面中是否如数值报告所示存在分叉型分支？
• RQ5 如何利用测地坐标对高维电力系统中复杂、受约束的解流形进行参数化与导航？

主要发现

• 本文推导出SSB上切平面、法向量及其导数的显式公式，支持曲率计算与几何分析。
• 对点与曲线在SSB上的正交投影可提供对解边界的精确距离估计。
• 所提出的局部反演方法通过几何分解将奇异反演限制在1D平方根运算中，实现高精度。
• 拓扑分析否定了SSB平面截面中存在分叉型分支的可能性，与先前数值观察相矛盾。
• 测地坐标通过利用内在黎曼几何，实现了对复杂、受约束解流形的实用参数化，即使在高维系统中亦可实现。