[论文解读] Differential geometry in the theory of Hessian operators

N. M. Ivochkina, N. V. Filimonenkova|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 16

一句话总结

本文提出了一套基于多维曲面上不变微分的新型微分几何框架，实现了诸如不变导数、曲率矩阵和 $p$-曲率等新的绝对几何不变量，适用于超曲面。该框架通过 $p$-曲率定义了 $m$-凸性，并将其应用于 $m$-Hessian 方程的 Dirichlet 问题，推导出在 $m$-凸边界条件下解的先验 $C^1$-估计。

ABSTRACT

The paper introduces a new differential-geometric system which originates from the theory of $m$-Hessian operators. The core of this system is a new notion of invariant differentiation on multidimensional surfaces. This novelty gives rise to the following absolute geometric invariants: invariant derivatives of the surface position vector, an invariant connection on a surface via subsurface, curvature matrices of a hypersurface and its normal sections, $p$-curvatures and $m$-convexity of a hypersurface, etc. Our system also produces a new interpretation of the classic geometric invariants and offers new tools to solve geometric problems. In order to expose an application of renovated geometry we deduce an a priori $C^1$-estimate for solutions to the Dirichlet problem for $m$-Hessian equations.

研究动机与目标

• 基于不变微分构建一种不依赖曲面参数化的新型微分几何时系统。
• 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的超曲面上定义新的绝对几何不变量，如不变导数、曲率矩阵和 $p$-曲率。
• 通过 $q$-方向与法 $q$-截面重新诠释经典几何不变量，并将其推广至高维曲面。
• 将新几何工具应用于推导 $m$-Hessian Dirichlet 问题解的先验 $C^1$-估计。
• 建立 $m$-可容许解存在且在 $C^1$-范数下有界的几何条件，通过边界上的几何约束实现。

提出的方法

• 在 $C^k$-光滑曲面 $\Gamma^n \subset \mathbb{R}^N$（$k \geq 2$）上引入不变微分，该方法与参数化无关，且避免使用张量形式。
• 将曲面上的 $q$-方向定义为 1-方向的推广，其中光滑嵌入 $\Gamma^q \subset \Gamma^n$ 作为这些方向的支撑。
• 为超曲面 $\Gamma^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 构造曲率矩阵 $\mathcal{K}[\Gamma^n]$，并将其与第一基本形式、第二基本形式及主曲率联系起来。
• 引入法 $q$-截面曲率矩阵，作为经典法曲率的推广，基于 $q$-维法截面构造。
• 通过曲率矩阵的 $p$-迹定义 $p$-曲率 $\mathbf{k}_p[\Gamma^n] = T_p(\mathcal{K}[\Gamma^n})$，从而引入 $m$-凸性的概念。
• 将该理论应用于 $m$-Hessian 方程 $F_m[u] = f > 0$ 在 $\Omega$ 中的情形，通过障碍函数法构造 $w_\gamma = \gamma W$，在 $\mathbf{k}_{m-1}[\partial\Omega] \geq \varepsilon > 0$ 条件下推导出 $C^1$-估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖参数化的情况下定义曲面上的不变微分，以获得绝对几何不变量？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的超曲面上，曲率矩阵与 $p$-曲率的几何意义与结构是什么？
• RQ3 $q$-方向与法 $q$-截面构成的新框架如何扩展曲面的经典微分几何？
• RQ4 边界 $\partial\Omega$ 需满足何种条件，才能保证 $m$-Hessian 解的 $C^1$-有界性？
• RQ5 本文引入的几何不变量能否用于推导如 $m$-Hessian 方程这类完全非线性 PDE 的先验估计？

主要发现

• 本文建立了一套基于不变微分的新微分几何时系统，消除了对参数化的依赖，获得了绝对几何不变量。
• 引入了曲率矩阵 $\mathcal{K}[\Gamma^n]$，并将其与经典不变量（如主曲率和第二基本形式）联系起来。
• 通过曲率矩阵的 $p$-迹定义了 $p$-曲率 $\mathbf{k}_p[\Gamma^n] = T_p(\mathcal{K}[\Gamma^n})$，从而实现了超曲面 $m$-凸性的概念。
• 在条件 $\mathbf{k}_{m-1}[\partial\Omega] \geq \varepsilon > 0$ 下，为 $m$-可容许解的 $m$-Hessian Dirichlet 问题推导出先验 $C^1$-估计。
• 证明了估计式 $|u_x| \leq c(1/\varepsilon, 1/\nu, \|u\|_{C(\Omega)}, \|f\|_{C^1(\Omega)}, \|\partial\Omega\|_{C^2}, \|\varphi\|_{C^2(\partial\Omega)})$，表明其对 $\varepsilon$ 和 $\nu$ 的依赖性。
• 证明依赖于构造障碍函数 $w_\gamma = \gamma W$，并应用引理 6.5，通过控制 $u_\mathbf{n}$ 的估计来界定 $u_x$，而 $u_\mathbf{n}$ 又受调和控制函数与 $m$-凸性条件的约束。