[论文解读] Differential Geometry of Time-Dependent Mechanics

G. Giachetta, L. Mangiarotti+1 more|ArXiv.org|Feb 25, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文通过纤维丛 $ Y \to \mathbb{R} $ 上的联络，以规范不变、参考系无关的方式形式化了时变力学，其中 $ Y = \mathbb{R} \times M $ 表示时间和构型空间。研究表明，在参考系变换下，相空间不具有规范的接触结构或预辛结构，泊松括号退化，哈密顿量并非相空间上的函数——这使得标准哈密顿力学与时变系统的广义协变性不相容。

ABSTRACT

The usual formulations of time-dependent mechanics start from a given splitting $Y=R imes M$ of the coordinate bundle $Y o R$. From physical viewpoint, this splitting means that a reference frame has been chosen. Obviously, such a splitting is broken under reference frame transformations and time-dependent canonical transformations. Our goal is to formulate time-dependent mechanics in gauge-invariant form, i.e., independently of any reference frame. The main ingredient in this formulation is a connection on the bundle $Y o R$ which describes an arbitrary reference frame. We emphasize the following peculiarities of this approach to time-dependent mechanics. A phase space does not admit any canonical contact or presymplectic structure which would be preserved under reference frame transformations, whereas the canonical Poisson structure is degenerate. A Hamiltonian fails to be a function on a phase space. In particular, it can not participate in a Poisson bracket so that the evolution equation is not reduced to the Poisson bracket. This fact becomes relevant to the quantization procedure. Hamiltonian and Lagrangian formulations of time-dependent mechanics are not equivalent. A degenerate Lagrangian admits a set of associated Hamiltonians, none of which describes the whole mechanical system given by this Lagrangian.

研究动机与目标

• 消除时变力学系统中对固定参考系的依赖。
• 以在时变正则变换和参考系变换下不变的方式重新表述经典力学。
• 解决标准哈密顿与拉格朗日形式在时变设定下不等价的问题。
• 阐明当时间演化非绝对时，相空间的几何结构。
• 解决由参考系依赖的哈密顿量引发的量子化基础问题。

提出的方法

• 在纤维丛 $ Y \to \mathbb{R} $ 上建模时变力学，其中 $ Y = \mathbb{R} \times M $，$ M $ 为构型流形。
• 使用 $ Y \to \mathbb{R} $ 上的联络几何地描述任意参考系，替代固定的分裂 $ \mathbb{R} \times M $。
• 利用喷丛和联络，构建时变拉格朗日与哈密顿力学的几何框架。
• 证明相空间上的经典泊松结构是退化的，且在参考系变换下不保持不变。
• 证明哈密顿量并非相空间上的函数，而是依赖于联络的选择，从而使标准泊松括号演化失效。
• 建立退化拉格朗日量可允许多个哈密顿量，但其中无一能完全描述系统动力学，导致拉格朗日与哈密顿形式的等价性被破坏。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖固定分裂 $ \mathbb{R} \times M $（即不偏袒某一参考系）的情况下，形式化时变力学？
• RQ2 当要求在参考系变换下协变时，时变力学中相空间的几何结构基础是什么？
• RQ3 为何标准泊松括号结构在时变正则变换下不保持不变？
• RQ4 在此框架中，哈密顿量为何不能被视为相空间上的良好定义函数？
• RQ5 为何时变系统中拉格朗日与哈密顿形式不等价？这对量子化有何影响？

主要发现

• 丛 $ Y \to \mathbb{R} $ 上的联络提供了参考系的规范不变描述，替代了固定的分裂 $ \mathbb{R} \times M $。
• 时变力学的相空间不具有在参考系变换下保持不变的规范接触或预辛结构。
• 相空间上的经典泊松结构是退化的，因此无法反演为辛形式。
• 在此框架中，哈密顿量并非相空间上的函数，而是线丛的截面，因而与标准泊松括号演化不相容。
• 具有退化拉格朗日量的拉格朗日力学导致一簇哈密顿量，其中无一能完全捕捉系统动力学，从而破坏了拉格朗日与哈密顿形式之间的通常对偶性。
• 哈密顿函数在相空间上无法良好定义，这一问题对时变系统的量子化具有直接后果。