[论文解读] Differential Geometry on Compound Poisson Space

Yuri Kondratiev, José Luís da Silva+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用 12

一句话总结

本文通过将黎曼流形 X 上的黎曼结构提升到无限维配置空间，在复合泊松空间上发展了微分几何。它构建了内在的微分算子——梯度、散度和拉普拉斯-贝尔特拉米算子，从而能够定义狄氏型及其关联的扩散过程，并应用于李代数表示，且推广至带标记的泊松测度。

ABSTRACT

In this paper we carry out analysis and geometry for a class of infinite dimensional manifolds, namely, compound configuration spaces as a natural generalization of the work \cite{AKR97}. More precisely a differential geometry is constructed on the compound configuration space $Ω_{X}$ over a Riemannian manifold $X$. This geometry is obtained as a natural lifting of the Riemannian structure on $X$. In particular, the intrinsic gradient, divergence, and Laplace-Beltrami operator are constructed. Therefore the corresponding Dirichlet forms on $L^{2}(Ω_{X})$ can be defined. Each is shown to be associated with a diffusion process on $Ω_{X}$ (so called equilibrium process) which is nothing but the diffusion process on the simple configuration space $Γ_{X}$ together with corresponding marks. As another consequence of our results we obtain a representation of the Lie-algebra of compactly supported vector fields on $X$ on compound Poisson space. Finally generalizations to the case when the compound Poisson measure is replaced by a marked Poisson measure easily follow from this construction.

研究动机与目标

• 将微分几何从有限维黎曼流形推广到无限维复合配置空间。
• 将“泊松空间上的微分几何”框架推广至带有标记的复合泊松测度。
• 在复合配置空间 $\Omega_X$ 上定义内在几何算子（梯度、散度、拉普拉斯）。
• 建立所构建几何与随机过程（特别是平衡扩散过程）之间的联系。
• 在复合泊松空间上实现紧支集向量场李代数的表示。

提出的方法

• 将 X 上的黎曼度量提升到复合配置空间 $\Omega_X$ 上的规范黎曼结构。
• 利用提升的度量和复合泊松测度，在 $L^2(\Omega_X)$ 上定义内在梯度。
• 将散度算子定义为 $L^2(\Omega_X)$ 中梯度的伴随算子，以保证守恒律。
• 通过散度与梯度的复合构造拉普拉斯-贝尔特拉米算子，形成对称的扩散生成元。
• 通过在复合泊松测度下对梯度范数平方的积分，在 $L^2(\Omega_X)$ 上定义狄氏型。
• 建立与狄氏型关联的 $\Omega_X$ 上扩散过程的存在性，该过程被识别为平衡过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何自然地将梯度、散度和拉普拉斯等微分几何结构扩展到黎曼流形上的复合泊松空间？
• RQ2 X 上的黎曼结构与 $\Omega_X$ 上诱导的几何结构之间存在何种关系？
• RQ3 与拉普拉斯-贝尔特拉米算子相关的狄氏型是否可与 $\Omega_X$ 上的随机过程关联？
• RQ4 紧支集向量场李代数在 X 上如何作用于复合泊松空间？
• RQ5 该构造在多大程度上可推广至带标记的泊松测度？

主要发现

• 通过从 X 提升黎曼结构，在 $L^2(\Omega_X)$ 上显式构造了内在梯度、散度和拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
• 与拉普拉斯-贝尔特拉米算子相关的狄氏型被识别为 $\Omega_X$ 上扩散过程的能量形式，该过程称为平衡过程。
• 证明了 $\Omega_X$ 上的平衡过程可分解为在简单配置空间 $\Gamma_X$ 上的扩散过程，且标记相互独立。
• 在复合泊松空间 $\Omega_X$ 上实现了紧支集向量场李代数的表示。
• 该框架自然推广至带标记的泊松测度，且保持相同的几何与随机结构。
• 该构造在 $\Omega_X$ 上产生了一致且规范的微分几何微积分，与底层概率测度相容。