[论文解读] Differential gorms, differential worms

Denis Kochan, Pavol Ševera|ArXiv.org|Jul 22, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本文引入了微分 gorms 和 worms 作为微分形式的高维推广，定义为从 $\mathbb{R}^{0|n}$ 到流形 $M$ 的映射的超空间上的函数。通过研究超群 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|n})$ 在这些函数空间上的作用，作者将同调代数推广，并通过函子和堆层理论方法，为等变上同调和拟泊松广群提供了新的几何解释。

ABSTRACT

We study "higher-dimensional" generalizations of differential forms. Just as differential forms can be defined as the universal commutative differential algebra containing C^\infty(M), we can define differential gorms as the universal commutative bidifferential algebra. From a more conceptual point of view, differential forms are functions on the superspace of maps from the odd line to M and the action of Diff(the odd line) on forms is equivalent to deRham differential and to degrees of forms. Gorms are functions on the superspace of maps from the odd plane to M and we study the action of Diff(the odd plane) on gorms; it contains more than just degrees and differentials. By replacing 2 with arbitrary n, we get differential worms. We also study a generalization of homological algebra that uses Diff(the odd plane) or higher instead of Diff(the odd line), and a closely related question of forms (and gorms and worms) on some generalized spaces (contravariant functors and stacks) and of approximations of such "spaces" in terms of worms. Clearly, this is not a gormless paper.

研究动机与目标

• 通过引入微分 gorms（$n=2$）和 worms（$n\geq2$）作为映射 $\mathbb{R}^{0|n} \to M$ 的超空间上的函数，将微分形式推广至度数 1 以上。
• 将微分形式的理论框架——其中 de Rham 微分源于 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|1})$ 的作用——推广至更高 $n$，通过 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|n})$ 的作用实现。
• 通过将 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|1})$ 替换为 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|n})$（$n \geq 2$）来构建广义同调代数，揭示更丰富的代数结构。
• 通过可表示函子和堆层理论，解释广义上同调理论（如等变上同调和拟泊松结构）。
• 利用超几何与广群作用于广义空间的方法，为高阶微分不变量提供几何与函子论基础。

提出的方法

• 将微分 gorms 定义为包含 $C^\infty(M)$ 的通用交换双微分代数，推广微分形式的通用性质。
• 将微分形式重新解释为奇曲线 $\mathbb{R}^{0|1} \to M$ 的超空间上的函数，其中 de Rham 微分源于 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|1})$ 的作用。
• 将此框架扩展至 $\mathbb{R}^{0|2} \to M$ 以定义微分 gorms，分析 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|2})$ 的作用，其包含的结构不仅限于分次和微分。
• 将 gorms 空间分解为 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|2})$ 的表示，通过 $\mathit{Mat}(2)$-表示理论识别不可约分量。
• 发展 gorms 的积分理论，并证明一个定理，将 $M$ 的欧拉示性数与闭的、可积 gorm 的积分联系起来。
• 通过反变函子和堆层方法将框架应用于广义空间，特别是通过刚化堆层来表示如 Weil 和 Cartan 模型中的上同调不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将微分形式推广至 $n \geq 2$ 的高维超流形映射 $\mathbb{R}^{0|n} \to M$？
• RQ2 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|n})$ 在 $\mathrm{Maps}(\mathbb{R}^{0|n}, M)$ 上的函数空间上的作用会产生何种代数与几何结构？
• RQ3 能否通过将 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|1})$ 替换为 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|n})$（$n \geq 2$）来构建广义同调代数？
• RQ4 标准上同调理论（如等变上同调和拟泊松几何）如何通过堆层理论构造从该框架中自然涌现？
• RQ5 在微分 gorms 和 worms 的语境下，积分与拓扑不变量（如欧拉示性数）起到何种作用？

主要发现

• 微分 gorms 自然地作为映射 $\mathbb{R}^{0|2} \to M$ 的超空间上的函数出现，其代数结构由 $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|2})$ 的作用所控制。
• $\mathit{Diff}(\mathbb{R}^{0|2})$ 对 gorms 的作用不仅编码了分次和微分，还包含了 $n=1$ 情况下不存在的高阶对称性与结构。
• gorms 空间可分解为 $\mathit{Mat}(2)$ 的不可约表示，其中一般部分同构于 $\widetilde{T_{\vec{l}}^{*}}M$（余切四联体丛），非一般部分同构于微分形式。
• 证明了一个定理，将 $M$ 的欧拉示性数与任意闭的、可积 gorm 的积分联系起来，推广了经典的高斯-博内定理。
• Weil 和 Cartan 模型的等变上同调被恢复为在带有联络的映射 $\mathbb{R}^{0|1} \to N$ 的空间上不变函数的形式，通过刚化堆层实现。
• 证明了拟泊松广群对应于带有 $\mathbb{R}[2]$-作用的分次奇辛广群，为广义范畴 $\mathcal{G}_{[1]}$ 提供了自然的对象来源。