[论文解读] Differential Graded Lie Algebras and Deformations of Holomorphic Maps

Donatella Iacono|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 6

一句话总结

本论文建立了一个微分分次李代数（DGLA）框架，用于研究紧致复流形之间全纯映射的无穷小形变，表明全纯映射的形变函子同构于由相关态射的映射锥构造的某个DGLA的形变函子。关键贡献是一个半正则映射，该映射控制上同调中的障碍，将Kodaira-Spencer理论推广至具有固定定义域或陪域的映射。

ABSTRACT

We construct the deformation functor associated to a couple of morphisms of differential graded Lie algebras, and use it to study the infinitesimal deformations of a holomorphic map of compact complex manifolds. In particular, in the case of Kähler manifolds we describe a generalizzation of the semiregularity map.

研究动机与目标

• 使用微分分次李代数（DGLA）将复流形形变理论推广至全息映射。
• 定义并研究全纯映射的形变函子，识别其切空间与障碍空间。
• 将半正则映射推广，以控制具有固定定义域或陪域的形变中的障碍。
• 通过映射锥建立全纯映射的形变函子与DGLA形变函子之间的同构关系。
• 分析包含映射与对数切丛的情形，识别控制流形中子流形形变的DGLA。

提出的方法

• 为复流形 $X$ 构造DGLA $L = A^{0,*}(X, \Theta_X)$，即著名的Kodaira-Spencer代数。
• 通过Maurer-Cartan方程的解模去规范等价关系来定义形变函子 $\operatorname{Def}_L$。
• 对于全纯映射 $f: X \to Y$，从 $KS_X$ 和 $KS_Y$ 构造DGLA态射对 $(h,g)$，从而得到映射锥 $L \times_M N$。
• 利用同构 $\operatorname{Def}_{(h,g)} \cong \operatorname{Def}(f)$ 将映射 $f$ 的形变函子与DGLA形变函子联系起来。
• 为包含映射 $i: X \hookrightarrow Y$ 引入半正则映射 $\sigma: H^2(L') \to H^{p-1,p+2}(Y, I_X)$，其中 $I_X$ 是 $X$ 的理想层。
• 应用扩展形变函子理论与纤维积分析具有固定定义域与陪域的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯映射 $f: X \to Y$ 的形变函子如何由DGLA控制？
• RQ2 全纯映射的形变函子 $\operatorname{Def}(f)$ 的切空间与障碍空间是什么？
• RQ3 半正则映射如何控制具有固定陪域的全纯映射形变中的障碍？
• RQ4 控制子流形 $X \subset Y$ 包含映射的无穷小形变的DGLA是什么？
• RQ5 上同调群 $H^1(X, \Theta_X(-\log D))$ 与 $H^2(X, \Theta_X(-\log D))$ 如何与 $X$ 中除子 $D$ 的形变相关？

主要发现

• 全纯映射 $f: X \to Y$ 的形变函子 $\operatorname{Def}(f)$ 同构于由 $f_*$ 与 $f^*$ 导出的DGLA态射对所关联的形变函子 $\operatorname{Def}_{(h,g)}$。
• 形变函子 $\operatorname{Def}(f)$ 的切空间自然同构于 $H^1(X, \Theta_X)$，障碍空间包含于 $H^2(X, \Theta_X)$ 中。
• 对于紧致Kähler流形中子流形的包含映射 $i: X \hookrightarrow Y$，DGLA $L' = A^{0,*}(Y, \Theta_Y) \to A^{0,*}(X, N_{X|Y})$ 控制映射 $i$ 的形变。
• 包含映射的障碍空间包含于半正则映射 $\sigma: H^2(L') \to H^{p-1,p+2}(Y, I_X)$ 的核中，其中 $p = \dim Y - \dim X$。
• 对于 $X$ 中的除子 $D = \bigcup D_i$，形变函子 $\operatorname{Def}_{X; D_1, \ldots, D_m}$ 同构于 $\operatorname{Def}_{L'}$，其中 $L' = A^{0,*}(X, \Theta_X(-\log D))$。
• 包含映射的半正则映射通过DGLA态射进入保持理想 $I_X$ 的算子的同伦类复形构造，从而实现上同调障碍的控制。