[论文解读] Differential graded versus Simplicial categories

Gonçalo Tabuada|ArXiv.org|Nov 24, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过将Dold-Kan对应关系推广为正分次链复形上的范畴与单纯$k$-模之间的Quillen等价性，建立了微分分次（dg）范畴与单纯范畴之间的同伦理论之间的Zig-Zag Quillen伴随关系。其关键贡献是通过dg与单纯同伦理论之间的这一桥梁，为Simpson的同伦纤维构造提供了概念性解释。

ABSTRACT

We construct a zig-zag of Quillen adjunctions between the homotopy theories of differential graded and simplicial categories. In an intermediate step we generalize Shipley-Schwede's work on connective DG algebras by extending the Dold-Kan correspondence to a Quillen equivalence between categories enriched over positive graded chain complexes and simplicial k-modules. As an application we obtain a conceptual explanation of Simpson's homotopy fiber construction.

研究动机与目标

• 构建微分分次范畴与单纯范畴之间的同伦理论之间的桥梁。
• 将Shipley-Schwede关于连通DG代数的工作推广至正分次链复形上的丰富范畴。
• 将Dold-Kan对应关系扩展为正分次dg范畴与单纯$k$-模之间的Quillen等价性。
• 在非交换Hodge理论中，为Simpson的同伦纤维构造提供概念性解释。
• 建立连接dg范畴与单纯范畴同伦理论的Zig-Zag Quillen伴随关系。

提出的方法

• 通过截断[23]中的模型结构，在正分次dg范畴范畴上构造一个Quillen模型结构。
• 将Dold-Kan对应关系推广为在正分次链复形上丰富的范畴与单纯$k$-模之间的Quillen等价性。
• 定义从单纯范畴到单纯$k$-线性范畴的$k$-线性化函子，并证明其构成一个Quillen伴随关系。
• 利用Dold-Kan对应关系，将正分次dg范畴的同伦理论与单纯$k$-线性范畴的同伦理论联系起来。
• 构造一个Zig-Zag Quillen伴随关系：$s\mathbf{Set}$-Cat $\xrightleftarrows[k(-)]{U}$ $s\mathbf{Mod}$-Cat $\xrightleftarrows[N]{L}$ $\mathsf{dgcat}_{\geq 0}$ $\xrightleftarrows[\tau_{\geq 0}]{L}$ $\mathsf{dgcat}$。
• 利用Quillen伴随关系关联同伦极限与同伦余极限，特别是关联伴随复合函子的导出函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Quillen伴随关系连接微分分次范畴与单纯范畴之间的同伦理论？
• RQ2 Dold-Kan对应关系能否被扩展为在正分次链复形上丰富的范畴与单纯$k$-模之间的Quillen等价性？
• RQ3 在连接单纯范畴与dg范畴的过程中，$k$-线性化函子的概念性作用是什么？
• RQ4 伴随关系复合的导出函子如何与Simpson的同伦纤维构造相关联？
• RQ5 dg函子的同伦纤维是否可被理解为其在复合导出函子下的像的同伦纤维？

主要发现

• 通过截断[23]中的模型结构，在正分次dg范畴范畴上构造了一个Quillen模型结构。
• 将Dold-Kan对应关系推广为在正分次链复形上丰富的范畴与单纯$k$-模之间的Quillen等价性。
• $k$-线性化函子$k(-)$及其右伴随$U$构成单纯$k$-线性范畴与单纯范畴之间的Quillen伴随关系。
• Zig-Zag Quillen伴随关系在dg与单纯范畴的同伦理论之间建立了导出等价性。
• $\mathbb{R}(U \circ L \circ \tau_{\geq 0})$的导出函子保持同伦极限，且dg函子的同伦纤维等价于其在该复合下的像的同伦纤维。
• 该构造为非交换混合Hodge理论中的Simpson同伦纤维构造提供了概念性解释。