[论文解读] Differential Inclusions in Wasserstein Spaces: The Cauchy-Lipschitz Framework

Benoît Bonnet, Hélène Frankowska|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用 41

一句话总结

论文为 Wasserstein 空间中的微分包含建立了一个函数框架，通过对速度场的可测选择来定义解，并证明 Filippov、Relaxation 及紧性结果以研究 mean-field 控制问题。

ABSTRACT

In this article, we propose a general framework for the study of differential inclusions in the Wasserstein space of probability measures. Based on earlier geometric insights on the structure of continuity equations, we define solutions of differential inclusions as absolutely continuous curves whose driving velocity fields are measurable selections of multifunction taking their values in the space of vector fields. In this general setting, we prove three of the founding results of the theory of differential inclusions: Filippov's theorem, the Relaxation theorem, and the compactness of the solution sets. These contributions -- which are based on novel estimates on solutions of continuity equations -- are then applied to derive a new existence result for fully non-linear mean-field optimal control problems with closed-loop controls.

研究动机与目标

• 激发在 Wasserstein 空间中研究大型动力系统和平均场极限。
• 通过对速度场的可测选取在 Wasserstein 空间中定义微分包含。
• 建立类似于 Filippov 定理、Relaxation 定理以及解集紧性的基础结果。
• 将该框架应用于获得带闭环控制的完全非线性平均场最优控制的存在性结果。

提出的方法

• 引入在 [0,T] 上的集合值速度场 V，并将微分包含定义为 ∂tμ(t) ∈ −div(V(t,μ(t))μ(t))。
• 将速度解释为将非局部速度投影到 Wasserstein 切空间的投影。
• 在 (P_c(ℝ^d), Wp) 上证明 Filippov 定理、Relaxation 定理的推广以及轨迹集的紧性。
• 推导连续方程解的先验估计以支持稳定性结果。
• 使用可测选取定理将 V 中的选取与驱动特征的实际控制函数 u(t) 联系起来。
• 将结果应用于获得带约束的平均场最优控制问题的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用集合值速度场在 Wasserstein 空间中表述微分包含？
• RQ2 Filippov 定理能否推广到 Wasserstein 空间中的 Cauchy-Lipschitz 微分包含？
• RQ3 Wasserstein 空间中的微分包含是否存在 Relaxation 定理，其闭包形式如何？
• RQ4 在右端项凸性的假设下，这些包含的解集是否紧致？
• RQ5 这些理论结果如何给出带闭环控制的完全非线性平均场最优控制的存在性结果？

主要发现

• 通过局部 Lipschitz 的速度场的可测选取，建立了 Wasserstein 空间中微分包含解的稳健定义。
• 将 Filippov 型结果推广到 (P_c(ℝ^d), Wp)，由此得到轨迹选取的 Grönwall 型不等式。
• 给出 Relaxation 定理，当右端项凸化时，描述解集的闭包。
• 在右端项为凸时证明解集紧性，从而实现带约束的平均场控制的存在性结果。
• 对连续方程的新动量和 Grönwall 型估计支撑稳定性与收敛性分析。