[论文解读] Differential Poisson Sigma Models with Extended Supersymmetry

Cesar Arias, Per Sundell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文表明，在微分泊松流形上，由 $ mathcal{N}=1$ 超对称泊松 sigma 模型是更广泛类别的诱导泊松 sigma 模型在双分次超流形 $T[0,1]M$ 上的一个特例，其中 $ mathcal{N}=1$ 超对称性源于扩展微分泊松括号与德拉姆微分之间的相容性。主要贡献在于在 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上构造了一个 $ mathcal{Q}$-精确的协变哈密顿作用量，新的扩展超对称性由 $M$ 上的基灵向量生成，这些向量诱导出 $(0,-1)$-双次数的超向量场。

ABSTRACT

The induced two-dimensional topological N=1 supersymmetric sigma model on a differential Poisson manifold M presented in arXiv:1503.05625 is shown to be a special case of the induced Poisson sigma model on the bi-graded supermanifold T[0,1]M. The bi-degree comprises the standard N-valued target space degree, corresponding to the form degree on the worldsheet, and an additional Z-valued fermion number, corresponding to the degree in the differential graded algebra of forms on M. The N=1 supersymmetry stems from the compatibility between the (extended) differential Poisson bracket and the de Rham differential on M. The latter is mapped to a nilpotent vector field Q of bi-degree (0,1) on T*[1,0](T[0,1]M), and the covariant Hamiltonian action is Q-exact. New extended supersymmetries arise as inner derivatives along special bosonic Killing vectors on M that induce Killing supervector fields of bi-degree (0,-1) on T*[1,0](T[0,1]M).

研究动机与目标

• 证明在微分泊松流形上的 $ mathcal{N}=1$ 超对称泊松 sigma 模型是更一般诱导泊松 sigma 模型在双分次超流形上的一个特例。
• 阐明 $ mathcal{N}=1$ 超对称性的几何与代数起源，即其源于 $M$ 上扩展微分泊松括号与德拉姆微分之间的相容性。
• 在 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上构造一个协变哈密顿作用量，使其为 $ mathcal{Q}$-精确，其中 $ mathcal{Q}$ 是一个双次数为 $(0,1)$ 的幂零向量场。
• 将新的扩展超对称性识别为沿 $M$ 上的玻色子基灵向量的内导数，这些向量在相空间超流形上诱导出 $(0,-1)$-双次数的超向量场。
• 通过局部 Poincaré引理与 $ mathcal{Q}$-算子的协变局部上同调，建立该模型的上同调结构。

提出的方法

• 模型在双分次超流形 $T[0,1]M$ 上构建，其中目标空间形式通过结合形式次数与费米子数的分次结构被映射为函数。
• 在 $M$ 上微分形式代数上定义了一个扩展微分泊松括号，其与德拉姆微分相容，并诱导出 $ mathcal{N}=1$ 超对称性。
• 在 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上构造协变哈密顿作用量，并证明其为 $ mathcal{Q}$-精确，其中 $ mathcal{Q}$ 是一个双次数为 $(0,1)$ 的幂零向量场。
• 使用局部坐标表达作用量与超对称变换，明确依赖于 $ mathcal{Q}$-闭与 $ mathcal{Q}$-精确形式。
• 通过基灵向量在 $M$ 上诱导出的 $(0,-1)$-双次数超向量场，推导出扩展超对称性，其对称性变换由内导数实现。
• 通过局部 Poincaré 引理进行上同调分析，表明 $ mathcal{Q}$-闭形式在规范自由度下为 $ mathcal{Q}$-精确，且可选择规范使得 $ overline{ mathcal{Q}} mathcal{G}=0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微分泊松流形上的 $ mathcal{N}=1$ 超对称泊松 sigma 模型如何与双分次超流形上的更广泛类别的诱导泊松 sigma 模型相关联？
• RQ2 在此背景下，$ mathcal{N}=1$ 超对称性的几何与代数起源是什么？
• RQ3 协变哈密顿作用量在 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上如何构造？为何其为 $ mathcal{Q}$-精确？
• RQ4 $M$ 上的基灵向量在模型中如何生成新的扩展超对称性？
• RQ5 该模型的上同调结构，特别是局部 Poincaré 引理，如何确保 $ mathcal{Q}$-闭形式的 $ mathcal{Q}$-精确性？

主要发现

• 证明了 $ mathcal{N}=1$ 超对称泊松 sigma 模型是 $T[0,1]M$ 上诱导泊松 sigma 模型的一个特例，其完整结构由双分次超流形框架编码。
• $ mathcal{N}=1$ 超对称性源于 $M$ 上扩展微分泊松括号与德拉姆微分之间的相容性，该相容性诱导出在 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上双次数为 $(0,1)$ 的幂零向量场 $ mathcal{Q}$。
• 在 $T^{\bullet}[1,0](T[0,1]M)$ 上的协变哈密顿作用量被证明为 $ mathcal{Q}$-精确，确保了类似 BRST 的不变性与一致的量子化。
• 新的扩展超对称性由沿 $M$ 上玻色子基灵向量的内导数生成，这些向量在相空间超流形上诱导出 $(0,-1)$-双次数的超向量场。
• 上同调分析表明，任意 $ mathcal{Q}$-闭形式 $ mathcal{F}$ 均为 $ mathcal{Q}$-精确，且可选择规范使得 $ overline{ mathcal{Q}} mathcal{G}=0$，这意味着物理态由 $ mathcal{Q}$-上同调决定。
• 对于双次数为 $q$ 的 $ mathcal{Q}$-闭形式，其通解为 $ mathcal{F}_{(q)} = mathcal{Q} mathcal{G}_{(q)}$，且满足 $ overline{ mathcal{Q}} mathcal{G}_{(q)}=0$，从而确认了上同调结构的一致性。