[论文解读] Differential Rigidity of Anosov Actions of Higher Rank Abelian Groups and Algebraic Lattice Actions

A. Katok, Ralf Spatzier|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 1997

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 51

一句话总结

本文通过一种新颖的非平稳正规型理论，建立了高阶阿诺索夫作用与紧流形上代数格点作用的 $C^∞$-局部刚性。证明了此类作用在小的 $C^∞$-扰动下光滑共轭，解决了环面与幂零流形自同构以及弗尔斯特恩堡边界（包括射影空间）上作用的长期悬而未决的刚性问题。

ABSTRACT

We show that most homogeneous Anosov actions of higher rank Abelian groups are locally smoothly rigid (up to an automorphism). This result is the main part in the proof of local smooth rigidity for two very different types of algebraic actions of irreducible lattices in higher rank semisimple Lie groups: (i) the Anosov actions by automorphisms of tori and nil-manifolds, and (ii) the actions of cocompact lattices on Furstenberg boundaries, in particular, projective spaces. The main new technical ingredient in the proofs is the use of a proper "non-stationary" generalization of the classical theory of normal forms for local contractions.

研究动机与目标

• 在紧流形上建立高阶阿贝尔群阿诺索夫作用的 $C^\infty$-局部刚性。
• 将刚性结果扩展至代数格点作用，特别是环面与幂零流形的自同构。
• 分析余紧格点在弗尔斯特恩堡边界（包括射影空间）上的作用，此前方法在此类情形下失效。
• 发展经典正规型理论的非平稳推广，以处理高阶动力系统中的非一致双曲性。
• 证明此类作用的轨道叶状结构在小的 $C^\infty$-扰动下光滑等价。

提出的方法

• 为高阶阿贝尔作用中的非一致双曲性，引入经典正规型理论的非平稳推广，适用于局部压缩映射。
• 利用弱不稳定叶状结构的Holonomy表示，分析齐性空间上轨道叶状结构的扰动。
• 通过 $C^1$-小扰动叶状结构 $\mathcal{W}^+$ 和 $\mathcal{W}^-$，构造Holonomy作用的 $C^1$-小扰动。
• 应用推论7，获得扰动后与原始叶状结构之间 $C^1$-接近的 $C^\infty$-轨道等价。
• 利用与 $\mathcal{W}^+$ 和 $\mathcal{W}^-$ $C^1$-接近的唯一 $c$-不变叶状结构，得出Holonomy作用的 $C^\infty$-共轭。
• 将 $\mathcal{W}^+$ 在纤维 $G/P$ 上的Holonomy表示识别为 $\gamma \in \Gamma$ 的右乘，从而实现对扰动的代数控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在紧流形上为高阶阿贝尔群的阿诺索夫作用建立 $C^\infty$-局部刚性？
• RQ2 不可约格点在环面与幂零流形上的阿诺索夫作用，在小的 $C^\infty$-扰动下是否光滑刚性？
• RQ3 该刚性结果能否推广至此前方法失效的弗尔斯特恩堡边界（如射影空间）上的作用？
• RQ4 非平稳正规型理论是否足以控制高阶作用中的非一致双曲性动力系统？
• RQ5 高阶阿贝尔作用的轨道叶状结构是否与自身任意充分 $C^1$-小的扰动 $C^\infty$-轨道等价？

主要发现

• 绝大多数高阶阿贝尔群的齐性阿诺索夫作用在模去自同构后是局部 $C^\infty$-刚性的。
• 不可约格点通过自同构作用在环面或幂零流形上是 $C^\infty$-局部刚性的。
• 余紧格点在弗尔斯特恩堡边界（包括射影空间）上的作用是 $C^\infty$-局部刚性的。
• $\mathcal{W}^+$ 的弱不稳定叶状结构在 $G/P$ 上的Holonomy表示为 $\gamma \in \Gamma$ 的右乘，从而实现对扰动的精确控制。
• $C^1$-小的Holonomy作用扰动诱导出 $\mathcal{W}^+$ 和 $\mathcal{W}^-$ 的 $C^1$-小扰动，且这些扰动通过 $C^1$-接近的微分同胚与原始叶状结构 $C^\infty$-轨道等价。
• 与 $\mathcal{W}^+$ 和 $\mathcal{W}^-$ $C^1$-接近的唯一 $c$-不变叶状结构迫使扰动叶状结构与原始结构 $C^\infty$-轨道等价，从而证明了Holonomy作用的 $C^\infty$-共轭。