[论文解读] Differentially Private Approximations of a Convex Hull in Low Dimensions

Yue Gao, Or Sheffet|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 41被引用 1

一句话总结

本文提出了首个用于近似低维欧几里得空间中凸包关键几何特征（如直径、宽度、体积和最小包围盒）的差分隐私算法。通过利用塔基深度（Tukey depth）并引入一种新颖的双准则近似框架，作者设计了一个 (pα,∆)-核，该核在乘法误差和基于深度的误差界限内私密地估计这些特征，从而在保障隐私的同时保持几何实用性。

ABSTRACT

We give the first differentially private algorithms that estimate a variety of geometric features of points in the Euclidean space, such as diameter, width, volume of convex hull, min-bounding box, min-enclosing ball etc. Our work relies heavily on the notion of \emph{Tukey-depth}. Instead of (non-privately) approximating the convex-hull of the given set of points $P$, our algorithms approximate the geometric features of the $κ$-Tukey region induced by $P$ (all points of Tukey-depth $κ$ or greater). Moreover, our approximations are all bi-criteria: for any geometric feature $μ$ our $(α,Δ)$-approximation is a value "sandwiched" between $(1-α)μ(D_P(κ))$ and $(1+α)μ(D_P(κ-Δ))$. Our work is aimed at producing a \emph{$(α,Δ)$-kernel of $D_P(κ)$}, namely a set $\mathcal{S}$ such that (after a shift) it holds that $(1-α)D_P(κ)\subset \mathsf{CH}(\mathcal{S}) \subset (1+α)D_P(κ-Δ)$. We show that an analogous notion of a bi-critera approximation of a directional kernel, as originally proposed by Agarwal et al~[2004], \emph{fails} to give a kernel, and so we result to subtler notions of approximations of projections that do yield a kernel. First, we give differentially private algorithms that find $(α,Δ)$-kernels for a "fat" Tukey-region. Then, based on a private approximation of the min-bounding box, we find a transformation that does turn $D_P(κ)$ into a "fat" region \emph{but only if} its volume is proportional to the volume of $D_P(κ-Δ)$. Lastly, we give a novel private algorithm that finds a depth parameter $κ$ for which the volume of $D_P(κ)$ is comparable to $D_P(κ-Δ)$. We hope this work leads to the further study of the intersection of differential privacy and computational geometry.

研究动机与目标

• 解决低维数据集中凸包基本几何特征（如直径、宽度和体积）缺乏差分隐私算法的问题。
• 克服几何度量对单个数据点高度敏感的问题，该问题若未经妥善处理将违反差分隐私。
• 开发一种通用的私有近似框架，通过使用塔基深度作为几何结构的稳健、低敏感代理，实现对独立同分布数据抽样的泛化。
• 构建一个 (pα,∆)-核——一个私有的紧凑集合 S，使得 S 的凸包在平移后，能以乘法和基于深度的误差界限内近似 κ-塔基区域。

提出的方法

• 将 κ-塔基区域 DP(κ) 定义为相对于数据集 P 的塔基深度至少为 κ 的点的集合，其构成一个凸多面体。
• 利用塔基深度的低敏感性（每增减一个数据点，深度最多变化 1）来实现差分私密计算。
• 引入双准则近似：对几何度量 µ 的 (pα,∆)-近似是指一个介于 (1−α)µ(DP(κ)) 和 (1+α)µ(DP(κ−∆)) 之间的值。
• 构造一个 (pα,∆)-核 S，使得在平移后满足 (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆)，从而在隐私约束下确保几何实用性。
• 应用私有算法估计最小包围盒，并通过坐标缩放将区域转换为“丰满”的塔基区域。
• 提出一种新颖的私有深度估计算法，以找到一个深度参数 κ，使得 vol(DP(κ)) ≈ vol(DP(κ−∆))，从而实现有效的核构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出用于近似低维空间中凸包直径、宽度和体积等几何特征的差分隐私算法？
• RQ2 在差分隐私下，如何构建同时受乘法因子和较浅深度区域约束的双准则近似？
• RQ3 是否可能将一个塔基区域私密地转换为“丰满”区域（体积与较浅区域成比例），以实现高效的核构造？
• RQ4 能否设计一个私有算法，识别出一个深度参数 κ，使得 DP(κ) 的体积与 DP(κ−∆) 的体积相近，从而实现稳定近似？

主要发现

• 本文首次提出用于近似低维欧几里得空间中凸包基本几何特征（如直径、宽度、体积、最小包围盒和最小包围球）的差分隐私算法。
• 所提出的 (pα,∆)-核确保私有输出集合 S 的凸包满足 (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆)，在隐私约束下提供稳健的几何近似。
• 对于最小包围球，CH(S) 的半径被保证位于 [ (1−α1)rκ, (1+α1)rκ−∆ ] 范围内，其中 rκ 和 rκ−∆ 分别为 DP(κ) 和 DP(κ−∆) 的最小包围球半径。
• 对于最小包围椭球或盒子，当 α1 < 1/(4d) 时，CH(S) 的体积位于 [ (1−2dα1)Vκ, (1+2dα1)Vκ−∆ ] 范围内，确保体积度量的实用性。
• 当 α1 < 1/(4(d−1)) 时，CH(S) 的表面积在 [ (1−2(d−1)α1)Aκ, (1+2(d−1)α1)Aκ−∆ ] 范围内，其中 Aκ 和 Aκ−∆ 分别为 DP(κ) 和 DP(κ−∆) 的面的表面积。
• 开发了一种私有算法，用于估计一个深度参数 κ，使得 vol(DP(κ)) ≈ vol(DP(κ−∆))，从而即使在区域初始不丰满的情况下，也能实现 (pα,∆)-核的构造。