[论文解读] Diffusion and superdiffusion from hydrodynamic projections

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种流体动力学投影框架，将传统欧拉尺度扩展至描述一维多体系统中的扩散与超扩散输运。通过利用守恒荷构建弹道、扩散与超扩散尺度的希尔伯特空间，该框架从热力学数据中推导出扩散与超扩散指数的精确下界，重现了Kardar-Parisi-Zhang指数 $2/3$ 及其他普适值，源自非线性涨落流体动力学。

ABSTRACT

Hydrodynamic projections, the projection onto conserved charges representing ballistic propagation of fluid waves, give exact transport results in many-body systems, such as the exact Drude weights. Focussing one one-dimensional systems, I show that this principle can be extended beyond the Euler scale, in particular to the diffusive and superdiffusive scales. By hydrodynamic reduction, Hilbert spaces of observables are constructed that generalise the standard space of conserved densities and describe the finer scales of hydrodynamics. The Green-Kubo formula for the Onsager matrix has a natural expression within the diffusive space. This space is associated with quadratically extensive charges, and projections onto any such charge give generic lower bounds for diffusion. In particular, bilinear expressions in linearly extensive charges lead to explicit diffusion lower bounds calculable from the thermodynamics, and applicable for instance to generic momentum-conserving one-dimensional systems. Bilinear charges are interpreted as covariant derivatives on the manifold of maximal entropy states, and represent the contribution to diffusion from scattering of ballistic waves. An analysis of fractionally extensive charges, combined with clustering properties from the superdiffusion phenomenology, gives lower bounds for superdiffusion exponents. These bounds reproduce the predictions of nonlinear fluctuating hydrodynamics, including the Kardar-Parisi-Zhang exponent 2/3 for sound-like modes, the Levy-distribution exponent 3/5 for heat-like modes, and the full Fibonacci sequence.

研究动机与目标

• 开发一种与模型无关的框架，用于表征一维多体系统中超越欧拉尺度的扩散与超扩散输运。
• 通过基于不同广延性守恒荷构建的希尔伯特空间结构，将流体动力学投影推广至更精细的流体动力学尺度。
• 从守恒密度与流的热力学平均值出发，推导出扩散与超扩散指数的严格、可计算的下界。
• 将双线性与分数广延荷与流体动力学关联及聚类性质相联系，从而获得普适的输运指数。

提出的方法

• 通过流体动力学约化构建希尔伯特空间，利用可观测量的时间-空间平移不变性与聚类性质，类比于Gelfand-Naimark-Segal构造。
• 基于具有线性、二次与分数广延性的荷，分别定义弹道、扩散与超扩散希尔伯特空间。
• 在扩散希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\rm dif}$ 中，通过形式投影公式表达昂萨格矩阵，推广标准流体动力学投影以用于德鲁德权重。
• 利用守恒量中的双线性表达式作为二次广延荷，从关联函数中推导出扩散系数的下界。
• 对三点多函数应用类似Lieb-Robinson的聚类假设，以限制昂萨格矩阵对角元并推断非零扩散。
• 分析分数广延荷及其时空不变性，通过关联积分的标度分析，推导出超扩散指数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 流体动力学投影能否被扩展至超越欧拉尺度，以描述一维系统中的扩散与超扩散输运？
• RQ2 二次广延荷在生成扩散输运中昂萨格矩阵下界的过程中起什么作用？
• RQ3 分数广延荷及其聚类性质如何约束超扩散指数？
• RQ4 能否从热力学数据与关联结构中严格推导出Kardar-Parisi-Zhang指数 $2/3$ 及其他普适的超扩散指数？
• RQ5 双线性荷在最大熵态流形上的协变导数意义下的几何与代数解释是什么？

主要发现

• 扩散希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\rm dif}$ 提供了昂萨格矩阵的形式精确投影公式，类似于用于德鲁德权重的流体动力学投影。
• 二次广延荷——特别是线性广延荷的双线性表达式——可产生通用的扩散系数下界，这些下界可从守恒密度与流的热力学平均值中计算得出。
• 在类似Lieb-Robinson的聚类假设下，若某些关联三点多函数不为零，则电流 $\mathcal{j}_k$ 的昂萨格矩阵对角元严格为正或无穷大，意味着存在非零扩散。
• 超扩散指数 $\alpha$ 的下界为 $2/3$，与Kardar-Parisi-Zhang普适类一致，该结果通过希尔伯特空间框架中关联积分的标度分析得出。
• 当与聚类假设结合时，分数广延荷可重现完整的斐波那契序列的超扩散指数，以及热模式的 $3/5$ Lévy分布指数。
• 双线性荷 $Q_{II;n} = (1 - \mathbb{P}_\tau)(1 - \mathbb{P}_\iota)\left[\int_{-n}^n \mathcal{q}_I(x)\,dx\right]^2$ 生成的序列满足 $\alpha' > \alpha$ 时的空间-时间不变性条件，从而实现对 $\alpha$ 的 $2/3$ 下界推导。