[论文解读] Diffusion approximation for efficiency-driven queues: A space-time scaling approach

Shuangchi He|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文在效率驱动（ED）场景下，针对GI/GI/n + GI队列提出了一种时空缩放扩散近似方法，采用一维扩散过程对虚拟等待时间进行建模。该方法可对服务水平和放弃率等性能指标提供精确的闭式近似，尤其在顾客耐心时间显著长于服务时间时表现优异，优于基于指数服务时间的模型。

ABSTRACT

Motivated by call center practice, we propose a tractable model for $\mbox{GI}/\mbox{GI}/n+\mbox{GI}$ queues in the efficiency-driven (ED) regime. We use a one-dimensional diffusion process to approximate the virtual waiting time process that is scaled in both space and time, with the number of servers and the mean patience time as the respective scaling factors. Using this diffusion model, we obtain the steady-state distributions of virtual waiting time and queue length, which in turn yield simple formulas for performance measures such as the service level and the effective abandonment fraction. These formulas are generally accurate when the mean patience time is several times longer than the mean service time and the patience time distribution does not change rapidly around the mean virtual waiting time. For practical purposes, these formulas outperform existing results that rely on the exponential service time assumption. To justify the diffusion model, we formulate an asymptotic framework by considering a sequence of queues, in which both the number of servers and the mean patience time go to infinity. We prove that the space-time scaled virtual waiting time process converges in distribution to the one-dimensional diffusion process. A fundamental result for proving the diffusion limit is a functional central limit theorem (FCLT) for the superposition of renewal processes. We prove that the superposition of many independent, identically distributed stationary renewal processes, after being centered and scaled in space and time, converges in distribution to a Brownian motion. As a useful technical tool, this theorem characterizes the service completion process in heavy traffic, allowing us to greatly simplify the many-server analysis when service times follow a general distribution.

研究动机与目标

• 开发一种在效率驱动（ED）场景下适用于多服务器队列的可计算且精确的模型，其中人员配置以成本优化为目标而非服务质量。
• 解决现有模型依赖指数服务时间假设的局限性，该假设在现实呼叫中心中往往不切实际。
• 在一般服务时间与耐心时间分布下，为关键性能指标（如服务水平和有效放弃率）提供闭式近似。
• 通过一个渐近框架证明扩散近似的合理性，其中服务器数量与平均耐心时间均趋于无穷大。
• 为独立同分布的平稳更新过程的叠加过程建立功能中心极限定理（FCLT），从而简化在一般服务时间分布下的多服务器队列分析。

提出的方法

• 对虚拟等待时间过程应用时空缩放方法，缩放因子为服务器数量与平均耐心时间。
• 在渐近队列序列下，缩放后的虚拟等待时间过程依分布收敛于一维扩散过程。
• 为独立同分布的平稳更新过程的叠加过程证明了功能中心极限定理（FCLT），表明经中心化与缩放后，其收敛于标准布朗运动。
• 通过该FCLT刻画服务完成过程，从而在无需追踪无限维年龄或剩余时间过程的前提下，实现对一般服务时间分布队列的分析。
• 从扩散极限中推导出虚拟等待时间与队列长度的稳态分布，从而实现性能指标的近似。
• 通过数值实验验证模型，结果表明当耐心时间显著长于服务时间时，该模型在准确性上优于基于指数服务时间的现有模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为效率驱动场景下的GI/GI/n + GI队列开发一种避免指数服务时间假设的扩散近似？
• RQ2 虚拟等待时间过程的时空缩放如何在一般服务时间与耐心时间分布下导出可计算的扩散极限？
• RQ3 大量独立同分布的平稳更新过程叠加的极限行为是什么？该行为如何支持扩散近似？
• RQ4 与基于指数服务时间的现有模型相比，所提模型在估计服务水平与放弃率方面的准确性提升程度如何？
• RQ5 在何种条件下，扩散近似能提供可靠的稳态性能估计？

主要发现

• 当服务器数量与平均耐心时间趋于无穷大时，时空缩放后的虚拟等待时间过程依分布收敛于一维扩散过程。
• 基于扩散模型的虚拟等待时间稳态分布，可实现对服务水平与有效放弃率等性能指标的闭式近似。
• 当平均耐心时间显著长于平均服务时间时，模型表现出高精度，该条件在现实呼叫中心中已被实证观察到。
• 为独立同分布更新过程叠加过程建立的功能中心极限定理（FCLT）表明，缩放后的过程收敛于布朗运动，为分析提供了关键的技术基础。
• 数值实验表明，所提模型在实际场景中优于依赖指数服务时间假设的现有模型。
• 扩散近似通过避免追踪无限维过程，简化了对一般服务时间下多服务器队列的分析，实现了可计算的性能评估。