[论文解读] Diffusion approximations via Stein's method and time changes
本文将 Stein 方法扩展至时间变换随机过程的收敛速率边界，具体表明经缩放的时间变换随机游走收敛于时间变换的布朗运动。该框架被应用于边界 Moran 模型（带突变）与带突变的 Wright-Fisher 扩散过程之间的距离，通过功能 Stein 方程与时间变换技术建立收敛速率的定量边界。
We extend the ideas of (Barbour 1990) and use Stein's method to obtain a bound on the distance between a scaled time-changed random walk and a time-changed Brownian Motion. We then apply this result to bound the distance between a time-changed compensated scaled Poisson process and a time-changed Brownian Motion. This allows us to bound the distance between a process whose dynamics resemble those of the Moran model with mutation and a process whose dynamics resemble those of the Wright-Fisher diffusion with mutation upon noting that the former may be expressed as a difference of two time-changed Poisson processes and the diffusive part of the latter may be expressed as a time-changed Brownian Motion. The method is applicable to a much wider class of examples satisfying the Stroock-Varadhan theory of diffusion approximation.
研究动机与目标
- 开发一种用于近似时间变换过程的功能 Stein 方法框架。
- 边界经缩放的时间变换随机游走与时间变换布朗运动之间的距离。
- 将该方法应用于带突变的 Moran 模型，将其近似为带突变的 Wright-Fisher 扩散模型。
- 通过功能收敛扩展 Stroock-Varadhan 扩散近似理论，结合 Stein 方法。
提出的方法
- 通过求解时间变换过程的功能 Stein 方程，将 Stein 方法适应于功能收敛。
- 使用时间变换表示法，将离散时间过程（如泊松过程）与连续扩散过程联系起来。
- 应用 Stein 方程解的边界以控制时间变换随机游走的分布与时间变换布朗运动之间的距离。
- 采用耦合与矩边界估计 Stein 算子作用于解函数后的期望。
- 将该框架应用于两个时间变换泊松过程之差，以建模 Moran 过程。
- 利用 Wright-Fisher 扩散的扩散部分可表示为时间变换布朗运动的事实。
实验结果
研究问题
- RQ1Stein 方法能否扩展至时间变换过程的功能收敛？
- RQ2经缩放的时间变换随机游走与时间变换布朗运动之间的收敛速率为何？
- RQ3该方法如何用于边界带突变的 Moran 模型与带突变的 Wright-Fisher 扩散模型之间的距离？
- RQ4能否通过 Stein 方法的定量边界加强 Stroock-Varadhan 扩散近似理论？
主要发现
- 通过 Stein 方法，建立了经缩放的时间变换随机游走与时间变换布朗运动之间距离的边界。
- 该方法得出了时间变换补偿泊松过程与时间变换布朗运动之间距离的定量边界。
- 通过该框架，边界了带突变的 Moran 模型与带突变的 Wright-Fisher 扩散模型之间的收敛速率。
- 该框架适用于满足 Stroock-Varadhan 扩散近似条件的广泛过程类。
- 该方法对时间变换具有鲁棒性，并能以时间变换函数与过程参数表示显式误差边界。
- 该方法可实现功能收敛边界，超越经典弱收敛，为遗传种群模型的近似提供收敛速率。
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