[论文解读] Diffusion covariation and co-jumps in bidimensional asset price processes with stochastic volatility and infinite activity Levy jumps

Fabio Gobbi, Cecilia Mancini|arXiv (Cornell University)|May 9, 2007

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于阈值的估计量，以一致地分离具有随机波动率和无限活动 Lévy 跳跃的二维资产价格过程中的扩散协变差与共同跳跃。利用离散高频数据，该方法通过识别大增量来检测共同跳跃，并证明在中等跳跃活动下，扩散协变差估计量的收敛速度为 √h，但在一般无限活动设定下不成立。

ABSTRACT

In this paper we consider two processes driven by diffusions and jumps. The jump components are Levy processes and they can both have finite activity and infinite activity. Given discrete observations we estimate the covariation between the two diffusion parts and the co-jumps. The detection of the co-jumps allows to gain insight in the dependence structure of the jump components and has important applications in finance. Our estimators are based on a threshold principle allowing to isolate the jumps. This work follows Gobbi and Mancini (2006) where the asymptotic normality for the estimator of the covariation, with convergence speed given by the squared root of h, was obtained when the jump components have finite activity. Here we show that the speed is the squared root of h only when the activity of the jump components is moderate.

研究动机与目标

• 估计由扩散和跳跃驱动的两个资产价格过程之间的连续协变差，并将其与共同跳跃分离。
• 开发一种基于阈值的一致估计量，利用高频观测数据来隔离跳跃。
• 确定当跳跃分量具有无限活动时，扩散协变差估计量的渐近收敛速度。
• 分析在稳定类 Lévy 跳跃分布和对 copula 依赖结构下，估计量的渐近正态性。
• 将先前针对有限活动跳跃的工作扩展到更复杂的无限活动 Lévy 过程与一般依赖结构的情形。

提出的方法

• 基于观测价格变动的增量大小，使用阈值准则识别跳跃超过预设大小的区间。
• 应用截断 realized 二次协变差估计量：$\tilde{v}^{(n)}_{1,1}(X^{(1)},X^{(2)})_{T} = \sum_{j=1}^{n} \Delta_j X^{(1)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(1)})^2 \leq r(h) \}} \Delta_j X^{(2)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(2)})^2 \leq r(h) \}} $，该估计量排除了可能由跳跃引起的较大增量。
• 将跳跃分量分解为有限活动跳跃 $J_1^{(q)}$ 和无限活动 Lévy 分量 $\tilde{J}_2^{(q)}$，并假设其具有稳定类尾部行为。
• 采用 Lindeberg-Feller 中心极限定理框架，通过 copula 建模，在特定依赖假设下建立估计量的渐近正态性。
• 通过分析当采样频率增加（$h \to 0$）时跳跃增量的高阶矩和尾部概率行为，推导收敛速度。
• 利用矩界和渐近展开证明，即使在无限活动下估计量仍保持一致，但收敛速度 $\sqrt{h}$ 仅在跳跃活动适中时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当跳跃分量具有无限活动时，扩散协变差的阈值估计量的收敛速度是什么？
• RQ2 通过 copula 建模的共同跳跃依赖结构如何影响估计量的渐近分布？
• RQ3 在存在无限活动 Lévy 跳跃的情况下，基于阈值的方法能否一致地将扩散协变差与共同跳跃分离？
• RQ4 在跳跃活动和尾部行为（如稳定类分布）满足何种条件下，估计量可实现渐近正态性？
• RQ5 与有限活动情形相比，无限活动 Lévy 跳跃的引入如何影响 realized 协变差估计量的偏差和方差？

主要发现

• 在包括无限活动 Lévy 跳跃在内的广义条件下，阈值估计量 $\tilde{v}^{(n)}_{1,1}$ 对积分扩散协变差 $\int_0^T \rho_t \sigma_t^{(1)} \sigma_t^{(2)} dt$ 具有一致性。
• 估计量的收敛速度仅为 $\sqrt{h}$ 当跳跃活动适中时成立；在一般无限活动情形下，收敛速度可能更慢，具体取决于尾指数 $\alpha_1, \alpha_2$。
• 在假设无限活动 Lévy 分量 $\tilde{J}_2^{(q)}$ 具有稳定类分布且联合依赖结构由某一类 copula 控制的条件下，建立了估计量的渐近正态性。
• 通过证明跳跃增量项中大偏离概率随 $h \to 0$ 而趋于零，验证了 Lindeberg 条件，从而确保了收敛到正态分布。
• 该方法通过排除具有大增量的区间成功识别了共同跳跃，与标准 realized 协变差相比，显著降低了估计偏差。
• 理论结果表明，无限活动跳跃分量对估计误差的贡献以依赖于稳定性指数 $\alpha_1, \alpha_2$ 和采样频率 $h$ 的速率减小。