[论文解读] Diffusion limit for the stationary distribution of a history-dependent two-level M/M/1 queue

Masahiro Kobayashi, Masakiyo Miyazawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2026

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 0

一句话总结

本文推导了一个历史依赖的两级 M/M/1 队列的稳态分布的闭式解，并在重载下建立其扩散极限，给出近似公式并进行数值验证。

ABSTRACT

Recently, Atar and Miyazawa [2] introduced a multi-level GI/G/1 queue with a finite number of levels, where both the arrival and service rates depend on the level corresponding to the current queue length. For this model, they proved that the diffusion limit of its queue length process in heavy traffic is the level-dependent reflected Brownian motion of [6]. In a subsequent study, Kobayashi et al. [4] derived the corresponding diffusion limit of the stationary distribution. These studies are motivated by the control of service capacity depending on the queue length. We are interested in the more general case where this control may also depend on the history of the queue length. As the first step toward such a generalization, we specialize the multi-level GI/G/1 queue to a two-level M/M/1 queue. We then extend the dynamics of this model so that its arrival and service rates depend not only on the current queue length but also on the recent history of queue lengths. Under the stability condition for this model, we first compute its stationary distribution in closed form, then derive its diffusion limit in heavy traffic. Finally, using this diffusion limit, we derive approximation formulas for the stationary distribution and then numerically assess their accuracy.

研究动机与目标

• 在排队系统中激发对服务容量的状态和历史依赖控制的动机。
• 构建一个 arrival 和 service 速率依赖于当前水平与队列长度历史的两级 M/M/1 队列。
• 在稳定性条件下推导精确的稳态分布。
• 在每个背景状态下推导稳态分布在重载下的扩散极限。
• 开发并评估基于扩散极限的稳态分布近似公式。

提出的方法

• 将系统建模为连续时间马尔可夫链，其状态空间为 S = S1,1 ∪ S2,1 ∪ S1,2 ∪ S2,2，具有水平和背景状态 B(t) ∈ {1,2}。
• 定义水平相关的到达率和服务率 λi, μi，以及在阈值 ℓd 与 ℓu 处的水平穿越背景转移。
• 通过求解平衡方程 (2.2)–(2.7) 推导稳态分布 π，并给出闭式表达（定理 2.1）。
• 引入 MGFs ψ, ψi,j 来刻画稳态分布分量（方程 (2.11)–(2.14)）。
• 在标度序列 n 的假设下，给出带有缩放的重载扩散极限（Assumptions (a)–(d)）。
• 得到极限密度 f = f1,1 + f2,1 + f1,2 + f2,2（定理 3.1）。

Figure 1: Sample path of $L(t)$

实验结果

研究问题

• RQ1 历史依赖的两级 M/M/1 队列在水平和历史依赖下的稳态分布是什么？
• RQ2 在重载条件下，各背景状态的稳态分布的扩散极限形式为何？
• RQ3 历史依赖控制如何影响扩散极限密度分量的形状？
• RQ4 在数值实验中，基于扩散的稳态分布近似有多准确？

主要发现

• 在稳定性条件 ρ2 < 1 下，稳态分布存在并具有闭式表达（定理 2.1）。
• 缩放后的稳态分布的扩散极限存在，且给出密度形式 f = f1,1 + f2,1 + f1,2 + f2,2（定理 3.1）。
• 部分密度分量是指数型或均匀分布（b1 ≠ 0 时为 f1,1；b1 = 0 时为 f2,2），而由于历史依赖，f2,1 与 f1,2 呈现非标准形式（注释 3.1）。
• 极限密度在与阈值 ṽℓd 与 ṽℓu 相关的区间上分段定义，反映水平结构和历史效应。
• 归一化常数 C0 被明确定义并用于表示所有密度分量（方程 3.8、3.4–3.7）。
• 数值示例表明扩散近似对所研究模型具有良好精确性。

Figure 2: Transition diagram of $(L(t),B(t))$