[论文解读] Diffusion limits for a Markov modulated counting process

Peter Spreij, Jaap Storm|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

本文在快速切换和大群体极限下，建立了马氏调制二项计数过程的弱极限定理，推导出功能性中心极限近似，从而得到扩散过程。主要贡献在于，根据债务人数量增长或调制马氏链加速的不同情况，识别出不同的扩散极限，该研究在 regime-switching（ regime 切换）下的信用风险建模中具有应用价值。

ABSTRACT

In this paper we study limit behavior for a Markov-modulated (MM) binomial counting process, also called a binomial counting process under regime switching. The concept of Markov-modulation has become increasingly popular in many branches of science. For example, one can model asset prices with stochastic processes, or model the 'state of the economy' by a Markov. The binomial counting process naturally appears in the context of credit risk when multiple obligors are present. Markov modulation takes place when the failure/default rate of each individual obligor depends on an underlying Markov chain. The limit behavior under consideration occurs when the number of obligors increases unboundedly, and/or by accelerating the modulating Markov process, called rapid switching. The interest is in finding weak limits in each of these cases, more specifically of a functional central limit type. In other words we will study diffusion approximations. Depending on the specific circumstances, different approximations are found.

研究动机与目标

• 分析当债务人数目趋于无穷大时，二项计数过程的渐近行为。
• 研究底层马氏调制过程的快速切换对极限分布的影响。
• 在不同缩放制度下，推导计数过程的弱极限（功能性中心极限类型）。
• 提供适用于具有状态依赖违约强度的信用风险建模的扩散近似。
• 阐明在何种条件下，根据过程的缩放方式不同，会涌现出不同的扩散极限。

提出的方法

• 将计数过程建模为二项过程，其中违约率由一个连续时间马氏链控制。
• 应用弱收敛技术，分析当债务人数目趋于无穷大时的极限行为。
• 通过加速调制马氏链引入时间尺度分离，以研究快速切换情形。
• 在群体规模与切换速度联合缩放下，推导归一化计数过程的功能性中心极限定理。
• 利用鞅功能性中心极限理论，证明在极限下收敛于扩散过程。
• 区分两种渐近情形：大群体下固定切换与固定群体下快速切换，二者分别导致不同的扩散极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当债务人数目无界增长时，马氏调制二项计数过程的弱极限是什么？
• RQ2 底层马氏调制过程的快速切换如何影响计数过程的极限分布？
• RQ3 在何种条件下，归一化计数过程依分布收敛于扩散过程？
• RQ4 在不同缩放制度下——大群体与快速切换——会涌现出哪些不同的扩散近似？
• RQ5 极限扩散过程如何反映信用风险应用中 regime-switching（ regime 切换）的动力学特征？

主要发现

• 当债务人数目趋于无穷大而调制马氏链保持固定时，归一化计数过程弱收敛于扩散过程。
• 在调制马氏链快速切换的情况下，极限过程仍为扩散过程，但其有效强度不同，这是由于对快速切换状态进行了平均。
• 极限扩散过程由时间改变的布朗运动分量表征，反映了 regime-switching（ regime 切换）的动力学特征。
• 在联合缩放下，功能性中心极限定理成立，所得扩散近似能够捕捉群体规模与切换速度的双重影响。
• 研究结果为使用扩散过程近似具有状态依赖违约强度的信用风险模型提供了严格的理论基础。
• 本文识别出两种不同的极限情形——大群体与快速切换——各自导致不同的扩散近似。