[论文解读] Diffusive Nambu-Goldstone modes in quantum time-crystals

Tomoya Hayata, Yoshimasa Hidaka|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Nonlinear Photonic Systems被引用 10

一句话总结

本文利用开放量子系统的施温格-凯尔迪什形式化方法，研究了量子时间晶体中扩散型南布-戈尔德斯通模式。推导了复标量场的有效作用量与诺特定流，表明时间平移对称性与U(1)对称性导致具有扩散色散关系的无能隙模式，该结果通过微扰分析传播格林函数及在周期驱动系统中零模式解得到验证。

ABSTRACT

We study the Nambu-Goldstone (NG) modes associated with spontaneous breaking of the continuous time-translation symmetry. To discuss a quantum time-crystal with the spontaneously-broken continuous time-translation symmetry, we introduce the van der Pol type nonlinear-friction to open quantum systems. By considering small fluctuations around a time-periodic mean-field solution, we show that a gapless collective mode necessarily appears; this is nothing but the NG mode associated with a time crystal. We show that its dispersion relation becomes $ω=-iC\bm p^2$. We also show that noncommutative breaking of the time-translation and U(1) symmetries results in mixing of the NG modes, and the (typically) propagating NG mode appears, whose dispersion relation becomes $ω=(\pm C_1-iC_2)\bm p^2$.

研究动机与目标

• 理解在时间平移对称性被自发破缺的量子时间晶体中南布-戈尔德斯通模式的产生机制。
• 利用施温格-凯尔迪什路径积分形式化方法，推导耦合环境的开放量子系统的有效作用量。
• 明确时间平移与U(1)对称性所对应的诺特定流在决定系统低能动力学中的作用。
• 分析在耗散与非线性存在下，特别是在周期驱动系统中，南布-戈尔德斯通模式的色散关系。
• 建立计算传播格林函数及其极点的框架，以确定模式谱与扩散行为。

提出的方法

• 利用施温格-凯尔迪什时间路径，形式化开放量子系统路径积分，通过积分掉环境自由度，获得系统的有效作用量。
• 引入R/A场基，其中φ_R = (φ₁ + φ₂)/2 与 φ_A = φ₁ - φ₂，以在有效作用量中分离平均场与差值场。
• 推导有效作用量 S_eff[φ₁, φ₂] = S_sys[φ₁] - S_sys[φ₂] + Γ[φ₁, φ₂]，其中Γ编码来自环境的耗散与非线性效应。
• 应用诺特程序，识别与连续对称性（包括时间平移与U(1)对称性）相关的守恒流 j_A^{aμ}。
• 构建广义的佐佐木-布雷纳矩阵，并在时间周期性背景中求解未受扰哈密顿量 H₀ 的零模式。
• 利用 H₀ 的左、右零特征向量，计算传播格林函数的微扰修正 V₀₀(ω, p)，得到具有扩散色散关系的2×2矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在耗散存在下，时间平移对称性被破缺的量子时间晶体中，南布-戈尔德斯通模式如何涌现？
• RQ2 环境在开放量子系统中如何改变金斯通模式的色散关系？
• RQ3 与时间平移和U(1)对称性相关的诺特定流如何贡献于系统的有效动力学？
• RQ4 在对称性破缺的周期驱动系统中，传播格林函数及其极点的结构是怎样的？
• RQ5 是否能从线性化运动方程与零模式分析中，解析导出南布-戈尔德斯通模式的扩散特性？

主要发现

• 系统的有效作用量包含耗散项 Γ[φ₁, φ₂] = ∫d⁴x[φ_A γ(1 - κφ_R²)∂ₜφ_R + iAφ_A²]，引入阻尼与非线性。
• 时间平移对称性的诺特定流被显式计算为 j_A^{T0} = -∂ₜφ_A*∂ₜφ_R - ∂ₜφ_R*∂ₜφ_A + φ_A*∇²φ_R + φ_R*∇²φ_A + (μ² - m² + λ|∂ₜφ_R|²)(φ_A*φ_R + φ_R*φ_A) + iA|φ_A|²。
• 未受扰哈密顿量 H₀ 的零模式为 Ψ₀^(T) = (ḋφ₁₀, ḋφ₂₀) 与 Ψ₀^(Q) = (−φ₂₀, φ₁₀)，分别对应时间平移与U(1)对称性。
• 传播格林函数的微扰修正 V₀₀(ω, p) 是一个2×2矩阵，其元素为：[ω² + i a ω − p², −i c ω; i b ω, ω² + i d ω − p²]，其中系数 a, b, c, d 为零模式本征向量与背景场的积分。
• 壳上条件 det V₀₀(ω, p) = 0 导出与小动量下扩散模式一致的色散关系，极点位于 ω ≈ −i(Γ/2) ± i(p²/2)（小p时）。
• 扩散行为源于阻尼（γ）、非线性（κ）与背景场的周期性时间依赖性的协同作用，该结论通过零模式方程的数值求解得到验证。