[论文解读] Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi

Peter Trueb|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文分析了圆周率前22.4万亿位小数的数位统计，计算了在十进制和十六进制下所有1位、2位和3位序列的频率分布。结果表明，所有观测到的频率在统计上与圆周率在这些进制下为正规数的假设一致，为其中的正规性提供了强有力的实证支持。

ABSTRACT

The mathematical constant pi has recently been computed up to 22,459,157,718,361 decimal and 18,651,926,753,033 hexadecimal digits. As a simple check for the normality of pi, the frequencies of all sequences with length one, two and three in the base 10 and base 16 representations are extracted. All evaluated frequencies are found to be consistent with the hypothesis of pi being a normal number in these bases.

研究动机与目标

• 通过分析圆周率在十进制和十六进制展开中的数位频率分布，检验其为正规数的假设。
• 检查长度为1、2和3的数位序列的统计一致性，以验证其是否符合正规性所预期的均匀分布。
• 利用迄今为止已知最大的圆周率数位计算，为圆周率的正规性提供实证证据。
• 验证前22.4万亿位小数中数位分布的正确性与均匀性。
• 为圆周率数位的随机性与分布特性这一持续进行的数学研究做出贡献。

提出的方法

• 作者使用高性能算法将圆周率计算至22,459,157,718,361位小数和18,651,926,753,033位十六进制数。
• 从圆周率的十进制和十六进制表示中提取了所有可能的1位、2位和3位序列。
• 统计每个序列的出现频率，并与正规性假设下的预期均匀分布进行比较。
• 应用统计检验，评估观测频率是否显著偏离均匀期望。
• 分析聚焦于十进制和十六进制表示，以在多种数制下检验正规性。
• 评估结果在所有测试序列长度下是否与正规性的原假设一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在圆周率前22.4万亿位小数中，所有1位、2位和3位序列的频率是否均匀分布？
• RQ2 在十进制和十六进制表示中，圆周率的观测数位频率是否显著偏离正规性假设下的预期频率？
• RQ3 是否存在实证证据支持圆周率在十进制和十六进制下为正规数的猜想？
• RQ4 如此大规模计算的圆周率数位统计与正规数的理论期望相比如何？
• RQ5 圆周率数位中短序列的分布能否被视为在统计上无法与随机序列区分？

主要发现

• 圆周率在十进制表示中，所有1位、2位和3位序列的频率均与均匀分布一致。
• 圆周率在十六进制表示中，所有序列的频率也未显示出与均匀性有显著偏差。
• 应用于数位序列的统计检验在常规显著性水平下未拒绝均匀分布的原假设。
• 结果为圆周率在十进制和十六进制下为正规数的猜想提供了强有力的实证支持。
• 在前22.4万亿位中，未检测到短数位序列分布中的异常或系统性偏差。
• 该分析证实了圆周率数位展开在前所未有的计算范围内具有高质量的随机性。