[论文解读] Digraph related constructions and the complexity of digraph homomorphism problems

Marcel Jackson, Tomasz Kowalski+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文研究了基本双图构造对有向图同态问题复杂性的影响，以及多态性在约束满足问题中的作用。证明了对称闭包为完全图的有向图的代数CSP二分猜想，并表明当有向图同时具有全源和全汇时，子幂与局部一致性算法会退化为等价的可解性条件，同时展示了严格宽度和少量子幂性质在一阶归约下的不稳定性。

ABSTRACT

The role of polymorphisms in determining the complexity of constraint satisfaction problems is well established. In this context we study the stability of CSP complexity and polymorphism properties under some basic graph theoretic constructions. As applications we prove the algebraic CSP dichotomy conjecture holds for digraphs whose symmetric closure is a complete graph, and observe a collapse in the applicability of algorithms for CSPs over directed graphs with both a total source and a total sink: the corresponding CSP is solvable by the subpowers algorithm if and only if it is solvable by a local consistency check algorithm. Moreover, we find that the property of strict width and solvability by few subpowers are unstable under first order reductions.

研究动机与目标

• 分析图论基本操作对有向图CSP复杂性的影响。
• 研究基于多态性的复杂性分类在一阶归约下的稳定性。
• 确立对称闭包为完全图的有向图的代数CSP二分猜想的有效性。
• 考察具有全源和全汇的有向图中子幂与局部一致性算法之间的关系。
• 确定严格宽度和少量子幂等性质是否在一阶归约下保持不变。

提出的方法

• 分析对称闭包和一阶归约等有向图构造下多态性不变量的性质。
• 应用CSP的代数方法，重点关注多态性及其闭包性质。
• 利用有向图的结构性质——特别是全源和全汇——推导算法等价性。
• 建立具有全源和全汇的有向图中，子幂算法可解性与局部一致性检查算法可解性的等价性。
• 采用一阶归约测试严格宽度和少量子幂等复杂性性质的稳定性。
• 通过基于多态性的分类，证明具有完全对称闭包的有向图的CSP二分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称闭包为完全图的有向图是否满足代数CSP二分猜想？
• RQ2 在何种条件下，有向图的子幂算法与局部一致性检查算法会变得等价？
• RQ3 严格宽度和少量子幂可解性等性质在一阶归约下是否稳定？
• RQ4 基本有向图构造如何影响多态性结构和CSP的复杂性？
• RQ5 有向图的何种结构性特征会导致子幂与局部一致性方法之间算法能力的退化？

主要发现

• 对称闭包为完全图的有向图满足代数CSP二分猜想。
• 对于同时具有全源和全汇的有向图，子幂算法可解性与局部一致性检查算法可解性等价。
• 严格宽度性质在一阶归约下不保持不变，表明复杂性分类框架存在不稳定性。
• 少量子幂可解性在一阶归约下同样不稳定，对这一复杂性准则的稳健性构成挑战。
• 研究结果表明，对于同时具有全源和全汇的有向图，子幂与局部一致性方法之间的算法能力发生退化，两种不同的算法方法变得等价。