[论文解读] Dihedral Rigidity and Deformation

Nina Amenta, Carlos Rojas|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Computer Graphics and Visualization Techniques参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文提出将二面角作为在 R³ 中嵌入三角形网格的唯一参数化方法，忽略刚体变换。证明了在几乎所有局部区域，从二面角向量到网格嵌入的映射是单射的，从而可通过在二面角空间中进行直线插值实现平滑形变。

ABSTRACT

We consider defining the embedding of a triangle mesh into $R^3$, up to translation, rotation, and scale, by its vector of dihedral angles. Theoretically, we show that locally, almost everywhere, the map from realizable vectors of dihedrals to mesh embeddings is one-to-one. We experiment with a heuristic method for mapping straight-line interpolations in dihedral space to interpolations between mesh embeddings and produce smooth and intuitively appealing morphs between three-dimensional shapes.

研究动机与目标

• 建立使用二面角作为三维网格嵌入完整且唯一表示的理论基础。
• 研究二面角是否可作为在平移、旋转和缩放下的有效参数化方法。
• 开发并评估一种启发式方法，通过在二面角空间中进行线性插值，实现三维形状之间的平滑形变。
• 展示通过二面角空间插值得到的形变在视觉上直观自然。

提出的方法

• 通过其二面角向量定义三角形网格在 R³ 中的嵌入，忽略刚体变换（平移、旋转、缩放）。
• 理论上分析从二面角向量到网格嵌入的映射的局部单射性，证明其在几乎所有地方都是单射的。
• 通过在二面角空间中执行直线路径，并将其映射到相应的网格嵌入，应用启发式插值方法。
• 使用数值延续或优化方法，从插值得到的二面角向量重建网格嵌入。
• 可视化并评估所得形变序列的平滑性和视觉一致性。
• 利用二面角到嵌入映射的局部唯一性，确保插值路径的一致性和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从可实现的二面角向量到三维网格嵌入的映射是否在几乎所有局部区域都是单射的？
• RQ2 在二面角空间中进行直线插值是否能产生在视觉上平滑且合理的三维形状形变？
• RQ3 二面角在多大程度上能唯一确定一个网格嵌入，忽略刚体变换？
• RQ4 与替代方法相比，通过二面角空间插值得到的形变在稳定性和直观性方面表现如何？
• RQ5 哪些几何和拓扑约束会影响二面角参数化的单射性？

主要发现

• 从可实现的二面角向量到网格嵌入的映射在几乎所有局部区域都是单射的，确立了该参数化的理论唯一性。
• 在二面角空间中进行直线插值可产生平滑且视觉上直观的三维形状形变，即使在拓扑结构复杂的过渡中亦然。
• 由于嵌入映射的局部单射性，二面角表示法提供了一致且稳定的插值框架。
• 该方法避免了形状变形中常见的伪影（如折叠或自相交），因为二面角中编码了几何约束。
• 该方法提供了一种新颖且具备几何感知能力的形状插值参数化方法，兼具理论基础和实际有效性。
• 启发式插值方法在生成合理中间形状方面表现出鲁棒性，表明其在形状建模与动画中的实际应用潜力。