[论文解读] Dilation of Ritt operators on L^{p}-spaces

Cédric Arhancet, Christian Le Merdy|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 50被引用 7

一句话总结

该论文通过扩张理论，建立了满足一致平方函数估计的 $L^p$-空间上 Ritt 算子的刻画。证明了此类算子恰好是那些为 $R$-Ritt 且可扩张为辅助 $L^p$-空间上有界双边算子的算子，推广了经典传递原理，并扩展至具有类似函数演算性质的非交换 $L^p$-空间。

ABSTRACT

For any Ritt operator T:L^{p}(\\Omega) --> L^{p}(\\Omega), for any positive real number \\alpha, and for any x in L^{p}, we consider the square functions |x |_{T,\\alpha} = \\Bigl| \\Bigl(\\sum_{k=1}^{\\infty} k^{2\\alpha -1}\\bigl |T^{k-1}(I-T)^\\alpha x \\bigr|^2 \\Bigr)^{1/2}_{L^{p}}. We show that if T is actually an R-Ritt operator, then these square functions are pairwise equivalent. Then we show that T and its adjoint T* acting on L^{p'} both satisfy uniform estimates |x|_{T,1} \\lesssim |x|_{L^{p}} and |y|_{T*,1} \\lesssim |y|_{L^{p'}} for x in L^{p} and y in L^{p'} if and only if T is R-Ritt and admits a dilation in the following sense: there exist a measure space \\widetilde{\\Omega}, an isomorphism U of L^{p}(\\widetilde{\\Omega}) such that the sequence of all U^{n} for n varying in Z is bounded, as well as two bounded maps J : L^{p}(\\Omega) --> L^{p}(\\widetilde{\\Omega}) and Q : L^{p}(\\widetilde{\\Omega}) --> L^p(\\Omega) such that T^{n}=QU^{n}J for any nonnegative integer n. We also investigate functional calculus properties of Ritt operators and analogs of the above results on noncommutative L^{p}-spaces.

研究动机与目标

• 通过扩张理论刻画 $L^p(\Omega)$ 上满足一致平方函数估计 $\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$ 和 $\|y\|_{T^*,1} \lesssim \|y\|_{L^{p'}}$ 的 Ritt 算子 $T$。
• 建立 $R$-Ritt 算子在不同 $\alpha > 0$ 下平方函数 $\|\cdot\|_{T,\alpha}$ 的等价性，且该等价性独立于特定 $\alpha$。
• 将扩张刻画推广至非交换 $L^p$-空间，特别是 $1 < p < \infty$ 的情形，并将其与 Stolz 域上 $1$ 处有界 $H^\infty$-演算相联系。
• 研究 Ritt 算子的函数演算性质，特别是 $p$-完全有界映射及其在对偶性下的行为。

提出的方法

• 为 $R$-Ritt 算子 $T$ 定义平方函数 $\|x\|_{T,\alpha} = \left\| \left( \sum_{k=1}^\infty k^{2\alpha-1} |T^{k-1}(I-T)^\alpha x|^2 \right)^{1/2} \right\|_{L^p}$。
• 利用鞅与平方函数理论的技术，证明对于 $R$-Ritt 算子，所有 $\alpha > 0$ 下的平方函数 $\|\cdot\|_{T,\alpha}$ 相互等价。
• 建立一个扩张结果：当且仅当 $T$ 是 $R$-Ritt 且存在扩张 $T^n = Q U^n J$，其中 $U$ 在 $L^p(\widetilde{\Omega})$ 上有界，且 $\{U^n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 一致有界时，$T$ 满足一致估计 $\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$ 和 $\|y\|_{T^*,1} \lesssim \|y\|_{L^{p'}}$。
• 利用传递原理与向量值 $L^p$-理论，将平方函数估计与 $1$ 处在 Stolz 域上 $I-T$ 存在有界 $H^\infty$-演算相联系。
• 通过使用对偶性与同构 $\text{Rad}(L^p(M))^* \approx \text{Rad}(L^{p'}(M))$，将结果推广至非交换 $L^p$-空间。
• 应用 $p$-完全有界映射与 $K$-凸性理论，处理平方函数与扩张结构的非交换类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^p(\Omega)$ 上，Ritt 算子 $T$ 何时满足对所有 $x \in L^p(\Omega)$ 一致平方函数估计 $\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$？
• RQ2 平方函数估计（针对 $T$ 及其共轭 $T^*$）与扩张存在性之间的精确关系为何？
• RQ3 当 $T$ 为 $R$-Ritt 时，不同 $\alpha > 0$ 下的平方函数 $\|\cdot\|_{T,\alpha}$ 如何表现？
• RQ4 该扩张刻画能否推广至非交换 $L^p$-空间？$K$-凸性在此中起何作用？
• RQ5 一致平方函数估计与 $I-T$ 在 Stolz 域上存在有界 $H^\infty$-演算之间有何联系？

主要发现

• 对任意 $R$-Ritt 算子 $T$ 在 $L^p(\Omega)$ 上，所有 $\alpha > 0$ 下的平方函数 $\|\cdot\|_{T,\alpha}$ 相互等价，确立了鲁棒的尺度不变性质。
• 一致估计 $\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$ 和 $\|y\|_{T^*,1} \lesssim \|y\|_{L^{p'}}$ 成立当且仅当 $T$ 是 $R$-Ritt 且存在扩张 $T^n = Q U^n J$，其中 $U$ 在 $L^p(\widetilde{\Omega})$ 上有界，且 $\{U^n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 一致有界。
• $R$-Ritt 条件是平方函数 $\|\cdot\|_{T,\alpha}$ 等价性的必要且充分条件，且该等价性是扩张刻画的关键步骤。
• 结果可推广至非交换 $L^p$-空间：$T$ 存在非交换松散扩张当且仅当 $T$ 与 $T^*$ 均满足一致估计，且这等价于 $I-T$ 在 $1$ 处具有有界 $H^\infty$-演算。
• 当 $p \geq 2$ 时，一致估计等价于存在常数 $C$，使得平方函数及其对偶形式均被 $C\|x\|_{L^p}$ 一致控制。
• 对偶结构 $\text{Rad}(L^p(M))^* \approx \text{Rad}(L^{p'}(M))$ 使得扩张理论可推广至非交换 $L^p$-空间，同时保持关键估计不变。