[论文解读] Dimension-5 operators and the unification condition in SO(10) and E(6)

Joydeep Chakrabortty, Amitava Raychaudhuri|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文系统计算了在量子引力或弦紧化背景下，由五维算符引起的SO(10)和E(6)大统一理论中规范耦合统一的修正。通过计算54、210和770维希格斯多重态的真空期望值，推导出修正后的统一条件，为所有可行的保持秩的对称性自发破缺模式提供了完整结果，可放宽标准的统一边界条件，并可能调和当前低能耦合常数与大统一之间的矛盾。

ABSTRACT

Effective dimension-5 operators which modify the gauge kinetic term in Grand Unified Theories may arise as a consequence of quantum gravity or string compactification. We exhaustively calculate the modification of the gauge unification condition due to such operators for all viable rank-preserving symmetry breakings of SO(10) and E(6) grand unified models.

研究动机与目标

• 计算由于量子引力或弦紧化引起的五维算符导致的SO(10)和E(6) GUT中规范耦合统一条件的修正。
• 全面确定来自SO(10)和E(6)伴随群对称乘积表示（54、210、770）的希格斯多重态真空期望值所产生的$δ_i$因子。
• 为SO(10)和E(6)中所有现象学上可行的保持秩的对称性破缺链提供修正统一条件的完整汇编。
• 评估引入这些五维算符是否能调和当前低能规范耦合常数值与大统一之间的矛盾。

提出的方法

• 推导有效五维算符的拉格朗日量：$\mathcal{L}_{\text{dim-5}} = -\frac{\eta}{M_{\text{Pl}}} \left[ \frac{1}{4c} \text{Tr}(F_{\mu\nu} \Phi_D F^{\mu\nu}) \right] $，其中$\Phi_D$是两个伴随表示对称乘积中的标量多重态。
• 识别SO(10)和E(6)中在最终未破缺规范群下为单态且可实现保持秩对称性破缺的可行希格斯多重态（$\Phi_D$）。
• 计算$\Phi_D$在SO(10)或E(6)基本表示中的真空期望值（vev），确保迹为零且与其他vev正交。
• 利用vev计算修正规范动能项的$\delta_i$因子，得到$g_i^2(M_X)(1 + \epsilon \delta_i)$，其中$\epsilon \sim M_X / M_{\text{Pl}}$。
• 将结果应用于SO(10)和E(6)中所有现象学上可行的对称性破缺链，包括$SO(10) \to SU(5)\otimes U(1)_X$、$SO(10) \to SU(4)_c\otimes SU(2)_L\otimes SU(2)_R$，以及$E(6) \to SU(3)_c\otimes SU(3)_L\otimes SU(3)_R$等。
• 通过群论分解和归一化约束，为每条破缺链在对角基中推导$\langle \Phi_{650} \rangle$和$\langle \Phi_{2430} \rangle$的显式矩阵形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 来自量子引力或弦紧化的五维算符如何修正SO(10)和E(6) GUT中的规范耦合统一条件？
• RQ2 在SO(10)和E(6)中，54、210和770维希格斯多重态的真空期望值会产生哪些$\delta_i$因子？
• RQ3 引入这些算符是否能放宽标准统一边界条件，使当前低能规范耦合常数实现统一？
• RQ4 在SO(10)和E(6)的所有可行保持秩破缺链中，$\Phi_{650}$和$\Phi_{2430}$的vev结构是什么？
• RQ5 在具有左右对称性或$SU(3)_c\otimes SU(3)_L\otimes SU(3)_R$统一的模型中，$\delta_i$因子在不同破缺模式下有何差异？

主要发现

• 本文为SO(10)和E(6)中所有可行的保持秩对称性破缺链提供了完整的$δ_i$因子集合，将标准统一条件修正为$g_i^2(M_X)(1 + \epsilon \delta_i)$。
• 对于$SO(10) \to SU(5)\otimes U(1)_X$，650表示的vev为$\langle \Phi_{650} \rangle = v_{650} \frac{1}{12\sqrt{5}} \text{diag}(40, \underbrace{-5,\ldots,-5}_{16}, \underbrace{4,\ldots,4}_{10})$，而2430表示的vev为$\langle \Phi_{2430} \rangle = v_{2430} \frac{1}{4\sqrt{78}} \text{diag}(-108, \underbrace{-4,\ldots,-4}_{45}, \underbrace{9,\ldots,9}_{16}, \underbrace{9,\ldots,9}_{16})$。
• 在$E(6) \to SU(3)_c\otimes SU(3)_L\otimes SU(3)_R$中，$\Phi_{650}$的D偶vev为$\langle \Phi_{650} \rangle = v_{650} \frac{1}{\sqrt{18}} \text{diag}(\underbrace{-2,\ldots,-2}_{9}, \underbrace{1,\ldots,1}_{9}, \underbrace{1,\ldots,1}_{9})$，而D奇vev为$\langle \Phi'_{650} \rangle = v'_{650} \frac{1}{\sqrt{6}} \text{diag}(\underbrace{0,\ldots,0}_{9}, \underbrace{1,\ldots,1}_{9}, \underbrace{-1,\ldots,-1}_{9})$。
• 在$E(6) \to SU(5)\otimes U(1)_\xi\otimes U(1)_\eta$中，$\delta_i$因子由基于SO(10)的结果导出，其中$\langle \Phi_{650,210} \rangle = v_{650}\sqrt{\frac{3}{2}} \text{diag}(0, \underbrace{0,\ldots,0}_{10}, <210>_{16})$。
• 在$E(6) \to SU(3)_c\otimes SU(2)_L\otimes U(1)_Y\otimes U(1)_\xi\otimes U(1)_\eta$中，vev由SO(10)多重态的SU(5)内容决定，尽管未显示显式矩阵形式。
• 在$E(6) \to SU(3)_c\otimes SU(3)_L\otimes SU(3)_R$中，$\delta_i$因子计算为$\langle \Phi_{2430} \rangle = v_{2430} \frac{1}{\sqrt{234}} \text{diag}(\underbrace{9,\ldots,9}_{8}, \underbrace{9,\ldots,9}_{8}, \underbrace{9,\ldots,9}_{8}, \underbrace{-4,\ldots,-4}_{27}, \underbrace{-4,\ldots,-4}_{27})$，确保与$\langle \Phi_{650} \rangle$和$\langle \Phi'_{650} \rangle$正交。