[论文解读] Dimension Data, Local and Global Conjugacy in Reductive Groups

Song Wang|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了维数数据——即在表示下固定子空间的维数——在多大程度上能确定半单子群在约化群中的共轭类。研究证明，对于某些经典群和例外群（如 $SO(2N)$、$Sp(2N)$、$O(N)$），当子群不可约时，维数数据可确定其在全局共轭意义下的唯一性；但同时也构造了显式反例，表明局部共轭（半单元素共轭）并不蕴含全局共轭，从而导致非同构嵌入具有相同的维数数据。主要贡献在于构造了一类在 $SO(2N)$ 中非共轭但局部共轭的单李群嵌入，其对自守形式中的重数一性质具有影响。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group (over $\mathbb{C}$) and H a connected semisimple subgroup. The dimension data of H (realative to its given embedding in G) is the collection of the numbers $\{{ m dim} V^{H}\}$, where V runs over all the finite dimensional representations of G. By a Theorem of Larsen-Pink ([L-P90]), the dimension data determines H up to isomorphism, and if G = GL (n) even up to conjugacy. Professor Langlands raised the question as to whether the strong (conjugacy) result holds for arbitrary G. In this paper We provided the following (negative) answer: If H is simple of type A_{4 n}, $B_{2 n} (n \geq 2)$, $C_{2 n} (n \geq 2)$, E_{6}, E_{8}, F_{4} and G_{2}, then there exist (for suitable $N$) pairs of embeddings i and i' of H into $G = SO (2 N)$ such that there image i (H) and i' (H) have the same dimension data but are not conjugate. In fact we have shown that i (H) and i' (H) are \emph{locally conjugate}, i.e., that i (h) and i' (h) are conjugate in G for all semisimple $h \in H$. If one assumes functoriality, this result will furnish the failure of multiplicity one for automorphic forms on such G over global fields. Such things are known in the disconnected cases, especially when H is finite, as in the works of Blasius [Blasius94] for $SL (n) (n \geq 3)$ and Gan-Gurevich-Jiang2002 ([Gan]) for G_{2}.

研究动机与目标

• 确定维数数据——即所有表示下固定子空间的维数——是否能唯一确定约化群中半单子群的同构类或共轭类。
• 研究在维数数据背景下，局部共轭（半单元素的共轭）与全局共轭（整个子群的共轭）之间的区别。
• 构造单李群嵌入到 $SO(2N)$ 中的显式例子，其维数数据相同但非全局共轭，从而证明维数数据并不总能确定全局共轭类。
• 探讨此类局部-全局共轭失效在算术上的影响，特别是在兰道斯函子性与自守表示重数一猜想的背景下。
• 提供一个框架，用于构造在经典群中具有扎里斯基稠密像的伽罗瓦表示，其中局部共轭条件作为关键工具。

提出的方法

• 本文利用复约化群的表示理论，聚焦于伴随表示及其外幂，将维数数据定义为 $\dim V^H$，其中 $\rho: G \to GL(V)$ 为所有表示。
• 应用 Larsen 和 Pink 在 $GL(n,\mathbb{C})$ 中关于维数数据的结果，将其推广至经典群 $SO(N)$、$Sp(2N)$ 和 $O(N)$，并建立在何种条件下维数数据可确定子群的全局共轭类。
• 反例的构造依赖于 $SO(2N)$ 的外自同构，特别是通过 $O(2N) \setminus SO(2N)$ 中的元素进行共轭，从而定义第二个嵌入 $i' = \tau \circ i$，将单李群 $H$ 嵌入 $G = SO(2N)$。
• 证明对于 $H$ 为 $A_{4n}$、$B_{2n}$、$C_{2n}$、$E_6$、$E_8$、$F_4$ 或 $G_2$ 类型的李代数，伴随表示 $i$ 与 $i' = \tau \circ i$ 产生相同的维数数据，但二者并非全局共轭，尽管它们是局部共轭的。
• 利用切波塔雷夫密度定理与 $L$-因子，将局部共轭与 $L$-函数相等联系起来，证明弗罗贝尼乌斯共轭蕴含 $L$-函数匹配。
• 应用亚瑟重数公式与兰道斯函子性，表明此类局部-全局差异可能导致具大于一的重数的尖点形式，尤其当兰道斯群连通时。

实验结果

研究问题

• RQ1 约化群 $G$ 中半单子群 $H$ 的维数数据是否能唯一确定 $H$ 在 $G$ 中的全局共轭类？
• RQ2 能否存在两个非共轭嵌入将单李群嵌入 $SO(2N)$ 中，且具有相同的维数数据，即使它们是局部共轭的？
• RQ3 在约化群中，局部共轭（在半单元素上）在何种条件下蕴含全局共轭？
• RQ4 维数数据中全局共轭的失效如何影响自守表示的重数一猜想？
• RQ5 此类局部-全局共轭现象是否可在伽罗瓦表示与自守形式中实现，特别是在数域上？

主要发现

• 对于 $G = SO(2N)$、$Sp(2N)$ 或 $O(N)$，若一个连通半单群 $H$ 的两个不可约表示具有相同的维数数据，则其像在 $G$ 中通过内自同构共轭，因此是全局共轭的。
• 本文构造了显式反例，其中两个嵌入 $i$ 与 $i' = \tau \circ i$ 将单李群 $H$ 嵌入 $G = SO(2N)$，具有相同的维数数据，但并非全局共轭，尽管它们是局部共轭的。
• 当 $H$ 的李代数为 $A_{4n}$（$n \geq 1$）、$B_{2n}$（$n \geq 2$）、$C_{2n}$（$n \geq 2$）、$E_6$、$E_8$、$F_4$ 或 $G_2$，且 $i$ 为伴随表示时，反例成立。
• 对于 $H = SO(5)$，$G = SO(10)$，伴随表示与外平方表示给出的嵌入是局部共轭但非全局共轭的，后者通过 $SO(10)$ 的外自同构进行扭曲。
• 尽管维数数据相同，但全局共轭的失效导致在 $SO(2N)/F$ 上存在重数大于一的尖点形式，前提是满足兰道斯函子性与亚瑟重数公式。
• 该构造在任意特征为零的代数闭域上均成立，包括 $\overline{\mathbb{Q}}$ 与 $\overline{\mathbb{Q}}_l$，并对 $Sp(4)$ 中具有扎里斯基稠密像的 $l$-进伽罗瓦表示具有影响。