[论文解读] Dimension hopping and families of strictly positive definite zonal basis functions on spheres

R. K. Beatson, Wolfgang zu Castell|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了球面上区域函数的维数跃迁算子，实现了对新一类严格正定、紧支集基函数的构造。通过卷积球帽的特征函数并应用提升算子，作者在 S³、S⁵、S⁷ 和 S⁹ 上推导出此类函数的显式、计算高效的表达式，并保证其严格正定性。

ABSTRACT

Positive definite functions of compact support are widely used for radial basis function approximation as well as for estimation of spatial processes in geostatistics. Several constructions of such functions for ${\mathbb R}^d$ are based upon recurrence operators. These map functions of such type in a given space dimension onto similar ones in a space of lower or higher dimension. We provide analogs of these dimension hopping operators for positive definite, and strictly positive definite, zonal (radial) functions on the sphere. These operators are then used to provide new families of strictly positive definite functions with local support on the sphere.

研究动机与目标

• 开发欧氏空间中径向函数维数跃迁算子在球面区域函数上的类比，保持严格与非严格正定性。
• 在不同维数的球面上构造新的紧支集、严格正定区域函数族。
• 确保所得函数计算高效，避免使用无穷级数，支持低成本求值。
• 建立基于卷积的方法，通过球帽指示函数的自卷积生成此类函数。

提出的方法

• 引入球面上区域函数的维数跃迁算子（上行与下行），类比于欧氏空间中的对应算子。
• 在区间 $[-1,1]$ 上使用卷积算子 $ ho_{ heta} o ho_{ heta} riangleq ho riangleleft_{ u} ho $，从球帽特征函数生成新的区域函数。
• 应用提升算子 $ ilde{ ho} = rac{1}{2} rac{d}{d heta} ho $，将函数从低维球面映射到高维球面。
• 通过计算 $ u = 0 $ 情况下的卷积并多次应用提升算子 $ ilde{ ho} $，推导出在 $ ext{S}^d $ 上的显式闭式表达式。
• 将所得函数归一化为在 $ x = 1 $ 处值为 1，确保其适用于插值与逼近。
• 通过确认其展开式中存在无穷多个正的勒让德系数（包括奇数与偶数阶），验证其严格正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $ ext{R}^d $ 中径向函数的维数跃迁算子适配于球面 $ ext{S}^d $ 上的区域函数，以保持正定性？
• RQ2 球帽特征函数的自卷积能否生成在 $ ext{S}^d $ 上具有紧支集的严格正定区域函数？
• RQ3 在 $ ext{S}^3, ext{S}^5, ext{S}^7, ext{S}^9 $ 上，此类严格正定区域函数能否导出显式且计算高效的表达形式？
• RQ4 如何分析所得函数的勒让德展开系数，以确认其严格正定性？

主要发现

• 作者在 $ ext{S}^3, ext{S}^5, ext{S}^7, ext{S}^9 $ 上构造了显式、闭式表达的严格正定区域基函数，所有函数均具有紧支集。
• 在 $ ext{S}^3 $ 上的函数 $ N_3(x) $ 表示为 $ 1 + b ext{arccos}(x) + drac{ ext{sign}(1-x)}{ ext{sign}(1+x)}rac{1}{ ext{sign}(1+x)} $，其中系数由 $ s = ext{arccos}(c) $ 导出，且在 $ x eq ext{cos}(2s) $ 时为零。
• 在 $ ext{S}^5 $ 上，函数 $ N_5(x) $ 包含关于 $ v = 1 + x $ 的额外有理项，系数依赖于 $ ext{cos}(s) $，并在 $ x = 1 $ 处归一化为 1。
• 在 $ ext{S}^7 $ 上的函数 $ N_7(x) $ 包含至 $ rac{1}{(1+x)^2} $ 的项，系数由三次卷积与提升操作导出。
• 在 $ ext{S}^9 $ 上的函数 $ N_9(x) $ 包含至 $ rac{1}{(1+x)^3} $ 的项，显式系数涉及 $ ext{cos}^8(s) $，并通过四次应用提升算子推导得出。
• 所有构造的函数由于存在无穷多个正的勒让德系数（奇数与偶数阶均存在），均满足 Chen、Menegatto 与 Sun 的刻画条件，因此为严格正定。