[论文解读] Dimension of Fractional Brownian motion with variable drift

Yuval Peres, Perla Sousi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过新颖地应用抛物型Hausdorff维数，推导出受Borel可测函数 $ f $ 扰动的分数布朗运动的图像与图的显式维数公式。关键结果表明，即使 $ f $ 是Hölder连续的，$ X + f $ 的维数仍可严格超过 $ X $ 和 $ f $ 的维数，且在随机扰动下，Minkowski维数与Hausdorff维数仍可能不同。

ABSTRACT

Let $X$ be a fractional Brownian motion in $\mathbb{R}^d$. For any Borel function $f:[0,1] o \mathbb{R}^d$, we express the Hausdorff dimension of the image and the graph of $X+f$ in terms of $f$. This is new even for the case of Brownian motion and continuous $f$, where it was known that this dimension is almost surely constant. The expression involves an adaptation of the parabolic dimension previously used by Taylor and Watson to characterize polarity for the heat equation. In the case when the graph of $f$ is a self-affine McMullen-Bedford carpet, we obtain an explicit formula for the dimension of the graph of $X+f$ in terms of the generating pattern. In particular, we show that it can be strictly bigger than the maximum of the Hausdorff dimension of the graph of $f$ and that of $X$. Despite the random perturbation, the Minkowski and Hausdorff dimension of the graph of $X+f$ can disagree.

研究动机与目标

• 确定分数布朗运动 $ X $ 与Borel函数 $ f $ 之和 $ X + f $ 的图与像的几乎必然Hausdorff维数。
• 解决标准布朗运动 $ B $ 的情况下，$ B + f $ 的Hausdorff维数是否能严格超过 $ \max\{\dim(\mathrm{Gr}(B)), \dim(\mathrm{Gr}(f))\} $ 的问题。
• 研究自仿射图中Minkowski维数与Hausdorff维数的严格不等式关系在布朗运动随机扰动下是否仍然成立。
• 为通过McMullen-Bedford地毯构造的自仿射函数图提供显式维数公式，条件是受分数布朗运动扰动。

提出的方法

• 引入抛物型Hausdorff维数的适应形式，通过时间与空间尺度分别为 $ \delta $ 和 $ \delta^H $ 的矩形，定义 $ H $-抛物型 $ \beta $-维内容。
• 将 $ \mathrm{Gr}_A(f) $ 的 $ H $-抛物型Hausdorff维数 $ \dim_{\Psi,H}(\mathrm{Gr}_A(f)) $ 作为关键参数，用于表达 $ \mathrm{Gr}_A(X+f) $ 与 $ \mathcal{R}_A(X+f) $ 的维数。
• 应用公式 $ \dim(\mathrm{Gr}_A(X+f)) = \min\{\alpha/H, \alpha + d(1-H)\} $ 与 $ \dim(\mathcal{R}_A(X+f)) = \min\{\alpha/H, d\} $，其中 $ \alpha = \dim_{\Psi,H}(\mathrm{Gr}_A(f)) $。
• 通过递归构造与dyadic矩形上测度的遍历平均，分析自仿射McMullen-Bedford地毯，计算其图的抛物维数。
• 利用大数定律，计算Hölder连续函数 $ f $（Hölder指数 $ \theta = \log 2 / \log 6 $）的图的抛物维数。
• 运用柯西-施瓦茨不等式与詹森不等式，比较 $ \mathrm{Gr}(B+f) $ 的Hausdorff维数与Minkowski维数，证明当行数 $ r_j $ 不相等时，两者存在严格不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于标准布朗运动 $ B $，$ B + f $ 的图的Hausdorff维数是否能严格超过 $ B $ 与 $ f $ 的维数的最大值？
• RQ2 当 $ f $ 是行数不等的自仿射函数时，$ \mathrm{Gr}(B+f) $ 的Minkowski维数是否仍等于 $ \mathrm{Gr}(f) $ 的Minkowski维数？
• RQ3 对于自仿射图，其抛物型Hausdorff维数能否显式计算？该维数是否使 $ \mathrm{Gr}(X+f) $ 的维数严格大于 $ X $ 或 $ f $ 单独的维数？
• RQ4 自仿射图中Minkowski维数与Hausdorff维数的严格不等式关系在布朗运动扰动下是否仍然保持？

主要发现

• 对于Hölder连续函数 $ f $（Hölder指数 $ \theta = \log 2 / \log 6 $），$ \mathrm{Gr}(f) $ 的抛物型Hausdorff维数为 $ \frac{1}{2} \log_2(5^{2\theta} + 1) $。
• 图 $ \mathrm{Gr}(B + f) $ 的Hausdorff维数为 $ \frac{\log_2(5^{2\theta} + 1) + 1}{2} $，该值严格大于 $ \dim(\mathrm{Gr}(f)) = \log_2(5^\theta + 1) $ 与 $ \dim(\mathrm{Gr}(B)) = 3/2 $。
• 对于具有模式 $ D $ 的自仿射图 $ \mathrm{Gr}(f) $，图 $ \mathrm{Gr}(X + f) $ 的维数为 $ 1 - H + H \log_m \left( \sum_{j=0}^{m-1} r(j)^{\log_n m / H} \right) $，其中 $ H < \log_n m $。
• 当行数 $ r_j $ 不全相等时，$ \mathrm{Gr}(B+f) $ 的Minkowski维数等于 $ \mathrm{Gr}(f) $ 的Minkowski维数，但其Hausdorff维数严格大于 $ \dim(\mathrm{Gr}(B)) $ 与 $ \dim(\mathrm{Gr}(f)) $。
• 尽管存在随机扰动，$ \mathrm{Gr}(B+f) $ 的Minkowski维数与Hausdorff维数仍可能不一致，且Minkowski维数严格大于Hausdorff维数。
• 像 $ \mathcal{R}_A(X+f) $ 的维数为 $ \min\{\alpha/H, d\} $，其中 $ \alpha $ 为 $ \mathrm{Gr}_A(f) $ 的抛物维数。