[论文解读] Dimension of invariant measures for affine iterated function systems

De‐Jun Feng|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 61被引用 20

一句话总结

本文证明了在 $\mathbb{R}^d$ 上的仿射迭代函数系统（IFS）的每个遍历不变测度都是精确维的，即其局部维数几乎处处存在且为常数。关键结果是在平均收缩条件下，给出了此类测度的 Hausdorff 维数的 Ledrappier-Young 型公式，从而解决了分形几何中长期悬而未决的公开问题。

ABSTRACT

Let $\{S_i\}_{i\in Λ}$ be a finite contracting affine iterated function system (IFS) on ${\Bbb R}^d$. Let $(Σ,σ)$ denote the two-sided full shift over the alphabet $Λ$, and $π:Σ o {\Bbb R}^d$ be the coding map associated with the IFS. We prove that the projection of an ergodic $σ$-invariant measure on $Σ$ under $π$ is always exact dimensional, and its Hausdorff dimension satisfies a Ledrappier-Young type formula. Furthermore, the result extends to average contracting affine IFSs. This completes several previous results and answers a folklore open question in the community of fractals. Some applications are given to the dimension of self-affine sets and measures.

研究动机与目标

• 解决分形几何中长期悬而未决的公开问题：即在 $\mathbb{R}^d$ 上的仿射 IFS 的每个遍历不变测度是否都是精确维的。
• 在平均收缩条件下，建立不变测度 Hausdorff 维数的 Ledrappier-Young 型维数公式。
• 将自仿射集与测度的维数理论从经典的自相似情形推广至更一般情形。
• 通过 Lyapunov 指数与熵，对不变测度的维数给出完整刻画，推广了以往的结果。

提出的方法

• 使用自然编码映射 $\pi: \Sigma \to \mathbb{R}^d$，将转移空间 $\Sigma = \Lambda^{\mathbb{Z}}$ 上的不变测度 $m$ 提升为 $\mathbb{R}^d$ 上的不变测度 $\mu = \pi_*m$。
• 应用 Furstenberg-Kesten 定理与 Kingman 的次可加遍历定理，确保对 $m$-几乎处处的 $x \in \Sigma$，其最大 Lyapunov 指数 $\lambda(x)$ 存在。
• 采用平均收缩 IFS 的概念，通过严格负的最大 Lyapunov 指数 $\lambda(x)$ 确保编码与测度前推的良定义性。
• 利用精确维数理论，结合局部维数、熵与 Lyapunov 指数之间的关系，推导出维数公式。
• 应用几何测度论的结果，包括通过引理 8.3 对投影的 Hausdorff 维数进行估计，以及对 Grassmannian 中纤维集的维数分析。
• 基于熵 $h_m(\sigma)$ 与 Lyapunov 指数 $\lambda_i$ 的相对关系进行情形分析，通过反证法与 Grassmannian 集的维数界，证明维数公式在每种情形下均成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^d$ 上的仿射 IFS 的每个遍历不变测度是否都是精确维的？
• RQ2 能否在仿射 IFS 设置下，为不变测度的 Hausdorff 维数建立类似 Ledrappier-Young 的公式？
• RQ3 该维数公式是否依赖于底层转移测度的 Lyapunov 指数与度量熵？
• RQ4 投影测度的维数与其在子空间上投影的维数有何关系？
• RQ5 熵、Lyapunov 指数与自仿射测度的维数之间存在何种精确关系？

主要发现

• 对于平均收缩的仿射 IFS，每个遍历不变测度 $\mu = \pi_*m$ 都是精确维的，即 $\dim_{\rm loc}(\mu,x)$ 几乎处处存在且为常数。
• 测度 $\mu$ 的 Hausdorff 维数满足 Ledrappier-Young 型公式：$\dim_{\rm H}\mu = \dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$，其中 $\dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$ 是通过熵与 Lyapunov 指数定义的 Lyapunov 维数。
• 该结果对双边与单边移位均成立，将维数公式的适用范围扩展至更广泛的不变测度类。
• 通过分析熵 $h_m(\sigma)$ 与维数公式成立的条件，证明了 $\dim_{\rm H}\mu = \dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$，并利用反证法与 Grassmannian 集的维数界完成证明。
• 本文彻底解决了仿射 IFS 设置下不变测度精确维性问题的 folklore 开放问题。
• 应用包括对自仿射集与测度的新维数估计，尤其适用于强分离条件或开口集条件不成立的情形。