[论文解读] Dimension of the space of invariant finitely additive measures of general Markov chains and their ergodic properties

Alexander I. Zhdanok|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

本文通过证明：若不变的纯有限可加测度空间在附加条件下为有限维，则马尔可夫链满足杜布-多布鲁什金拟紧致性条件，从而完全倒置了先前关于马尔可夫链的定理。该工作扩展了此前仅适用于一维情形的部分结果，并表明即使在可数可加不变测度不存在时，纯有限可加不变测度对于理解遍历性质和渐近行为也至关重要。

ABSTRACT

General Markov chains with a countably additive transition probability in arbitrary phase space are considered. Markov operators extend from the space of countably additive measures to the space of finitely additive measures. In the author's papers a theorem was earlier proved that if all invariant finitely additive measures of a Markov chain are countably additive, i.e. there are no invariant purely finitely additive measures, then their subspace is finite-dimensional and the Markov chain satisfies the Doob-Doeblin quasicompactness conditions. In the same paper, a partial inversion of this theorem was proved with the dimension "one". In this paper we prove the inversion of this assertion for any finite dimensionality, but under certain additional conditions. The ergodic consequences are given. Examples and methods for studying their asymptotics with the aid of invariant purely finitely additive measures are given.

研究动机与目标

• 扩展先前已证明的关于马尔可夫链中纯有限可加不变测度的缺失与拟紧致性之间联系的定理的局部逆定理。
• 为不变纯有限可加测度空间的任意有限维情形，建立该定理的完整逆定理。
• 证明纯有限可加不变测度在刻画一般马尔可夫链的渐近性质与遍历性质中的关键作用。
• 提供一个框架及示例，用于利用纯有限可加不变测度研究马尔可夫链的渐近行为。

提出的方法

• 将马尔可夫算子 A 从可数可加测度空间（ca）扩展至有限可加测度空间（ba），并保持其在有界可测函数上的作用不变。
• 分析有限可加不变测度空间的结构，将其分解为可数可加与纯有限可加两部分。
• 应用有限可加测度理论，特别是纯有限可加（纯电荷）测度的概念，这类测度相对于可数可加性是不连续的。
• 在不变纯有限可加测度子空间为有限维且结合额外技术假设的条件下，推导出拟紧致性。
• 通过在区间 [0,1] 上构造示例，说明如何利用纯有限可加不变测度分析链的行为与渐近性质。
• 利用作者先前工作中的结果（如 [4], [5]）以及算子理论与测度论基础文献（如 [1], [2], [3]）构建理论框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不变纯有限可加测度空间的有限维性可推出马尔可夫算子的拟紧致性？
• RQ2 当不存在可数可加不变测度但存在纯有限可加测度时，如何刻画马尔可夫链的渐近行为？
• RQ3 纯有限可加不变测度在决定一般马尔可夫链的遍历性质中起何种作用？
• RQ4 如何系统地利用纯有限可加不变测度研究此类链的渐近行为？

主要发现

• 本文证明了先前定理的完整逆定理：若不变纯有限可加测度空间为有限维且满足某些附加条件，则马尔可夫链满足杜布-多布鲁什金拟紧致性条件。
• 该结果推广了此前仅适用于一维情形的局部逆定理。
• 研究表明，即使在可数可加不变测度不存在时，纯有限可加不变测度对于理解马尔可夫链的渐近行为也至关重要。
• 在区间 [0,1] 上构造了示例，说明如何利用纯有限可加不变测度分析马尔可夫链的渐近行为。
• 本文确立了纯有限可加不变测度的缺失是极大遍历性的强指标，尽管此情况被视为退化情形而非典型情形。
• 所建立的框架使得对标准遍历理论基于可数可加测度失效的链能够进行更深入的分析。