[论文解读] Dimension preserving approximation

Saurabh Verma, Peter Massopust|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出了一种保持维数的逼近方法，这是一种新颖的连续函数在 [0,1] 上逼近方法，可确保导数的分形维数在逼近过程中保持不变。研究证明，伯恩斯坦多项式通常无法保持函数导数的豪斯多夫维数，并提出新方法——使用利普希茨扰动和受限延拓——以构造出其图像与原函数具有相同分形维数的逼近函数。

ABSTRACT

This article introduces the novel notion of dimension preserving approximation for continuous functions defined on $[0,1]$ and initiates the study of it. Restrictions and extensions of continuous functions in regards to fractal dimensions are also investigated.

研究动机与目标

• 提出并形式化 [0,1] 上连续函数的保持维数逼近概念，尤其关注其图像的分形维数。
• 研究经典逼近方法（如伯恩斯坦多项式）在保持导数分形维数方面的局限性。
• 探讨连续函数在保持其图像指定分形维数的前提下进行延拓与限制。
• 建立具有指定豪斯多夫维数和填充分形维数的连续函数存在的结果。
• 提供构造性方法，将定义在 [0,1] 的紧致子集上的函数延拓至整个区间，同时控制延拓后图像的分形维数。

提出的方法

• 引入通过函数的利普希茨扰动实现保持维数逼近的概念，证明将一个利普希茨函数加到连续函数上，可保持其图像的豪斯多夫维数和填充分形维数。
• 应用引理 3.1，证明当 $ g $ 为利普希茨函数且 $ f $ 为连续函数时，$ f + g $ 的图像与 $ G_g $ 具有相同的豪斯多夫维数和填充分形维数。
• 利用豪斯多夫维数和填充分形维数的可数稳定性性质，分析在可数个区间并集上延拓函数的图像维数。
• 使用引理 4.5，通过在紧致子集上使用具有所需图像维数的利普希茨函数延拓，构造出在 [0,1] 上具有指定豪斯多夫维数 $ \beta \in [1,2] $ 的连续函数。
• 应用定理 4.6，将定义在 [0,1] 的真紧致子集 $ X \subset [0,1] $ 上的连续函数 $ f $ 延拓为 $ \tilde{f} $，使得对任意 $ \beta \in [\max(\dim_H G_f(X),1), 2] $，有 $ \dim_H G_{\tilde{f}} = \beta $。
• 利用分形维数的有限稳定性和可数稳定性，将延拓后图像的维数分解为原始定义域与新增区间的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典逼近方法（如伯恩斯坦多项式）能否保持函数导数的分形维数？
• RQ2 在何种条件下，连续函数的逼近可保持其图像的分形维数？
• RQ3 对于定义在 [0,1] 的紧致真子集上的连续函数，能否将其延拓至整个区间并赋予图像指定的分形维数？
• RQ4 对于任意 $ \beta \in [1,2] $，是否存在 [0,1] 上的连续函数，其图像的豪斯多夫维数恰好为 $ \beta $？
• RQ5 豪斯多夫维数与填充分形维数在函数限制到紧致子集和延拓至整个区间时的行为如何？

主要发现

• 伯恩斯坦多项式逼近无法保持导数的分形维数：尽管 $ B_n(f) \to f $ 一致收敛且 $ (B_n(f))' \to f' $ 一致收敛，但 $ \dim G_{(B_n(f))'} = 1 $，即使 $ \dim G_{f'} > 1 $。
• 将一个利普希茨函数加到连续函数上，可保持其图像的豪斯多夫维数和填充分形维数：$ \dim_H G_{f+g} = \dim_H G_g $ 且 $ \dim_P G_{f+g} = \dim_P G_g $。
• 对于任意 $ \beta \in [1,2] $，存在一个连续函数 $ f \in \mathcal{C}[0,1] $，使得 $ \dim_H G_f = \beta $，填充分形维数情况亦然。
• 给定定义在紧致真子集 $ X \subset [0,1] $ 上的连续函数 $ f $，可将其延拓为 $ \tilde{f} \in \mathcal{C}[0,1] $，使得对任意 $ \beta \in [\max(\dim_H G_f(X),1), 2] $，有 $ \dim_H G_{\tilde{f}} = \beta $。
• 由于填充分形维数具有可数稳定性，其在类似延拓下也保持不变，与豪斯多夫维数类似。
• 对于任意 $ \beta \leq \dim_H G_f $，存在一个紧致子集 $ K \subset [0,1] $，使得 $ \dim_H G_f(K) = \beta $，这表明存在具有任意中间分形维数的子集。