[论文解读] Dimension Theory Approach to the Complexity of Almost Periodic Trajectories

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文引入了丢番图维数——一种针对一致几乎周期函数的新维数类特征——其定义基于包含长度渐近行为中的指数。该研究建立了该度量与几乎周期函数的重复性和遍历性之间的联系，为拟周期函数提供了估计方法，并提出了分析演化方程中几乎周期轨迹的框架，同时将该方法与Kronecker定理的有效版本相联系。

ABSTRACT

We introduce and study a dimensional-like characteristic of an uniformly almost periodic function, which we call the Diophantine dimension. By definition, it is the exponent in the asymptotic behavior of the inclusio length. Diophantine dimension is connected with recurrent and ergodic properties of an almost periodic function. We get some estimates of the Diophantine dimension for certain quasiperiodic functions and present methods to investigate such a characteristic for almost periodic trajectories of evolution equations. Also we discuss the link between the presented approach and the so called effective versions of the Kronecker theorem.

研究动机与目标

• 基于维数理论，为一致几乎周期函数开发一种新的复杂性度量。
• 将丢番图维数定义为控制几乎周期函数包含长度渐近行为的指数，并加以分析。
• 建立丢番图维数与几乎周期函数的重复性和遍历性之间的联系。
• 为拟周期函数提供丢番图维数的估计方法。
• 探讨该方法与丢番图逼近中Kronecker定理有效版本之间的关系。

提出的方法

• 将丢番图维数定义为几乎周期函数包含长度渐近增长速率中的指数。
• 运用维数理论和丢番图逼近的工具，分析几乎周期轨迹的结构与复杂性。
• 将该框架应用于拟周期函数，推导出丢番图维数的显式估计。
• 通过丢番图维数的视角，研究演化方程中几乎周期解的行为。
• 建立丢番图维数与Kronecker定理在同时丢番图逼近中的有效形式之间的理论联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为一致几乎周期函数定义一种类似维数的特征，以量化其复杂性？
• RQ2 丢番图维数与几乎周期函数的重复性或遍历性之间存在何种关系？
• RQ3 如何对特定类别的拟周期函数估计其丢番图维数？
• RQ4 丢番图维数与Kronecker定理的有效版本以何种方式相关？
• RQ5 丢番图维数如何有助于分析演化方程中几乎周期轨迹？

主要发现

• 丢番图维数被正式定义为几乎周期函数包含长度渐近行为中的指数。
• 研究表明，丢番图维数与函数的重复性和遍历性密切相关。
• 为某些拟周期函数导出了丢番图维数的显式估计。
• 该方法提供了一个框架，结合维数理论与丢番图逼近技术，用于分析演化方程中的几乎周期轨迹。
• 本文建立了丢番图维数与丢番图逼近中Kronecker定理有效版本之间的理论联系。