[论文解读] Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and applications to $L^2$-Betti numbers

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Jul 10, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文引入了有限冯诺依曼代数上任意模的广义维数函数，将经典的冯诺依曼维数推广至非投射模，并保持可加性、连续性等关键性质。该理论被应用于定义具有离散群作用的任意拓扑空间的 $L^2$-贝蒂数，证明了当群为可约群时，这些不变量仅依赖于奇异同调的群环模结构，并建立了低阶 $L^2$-贝蒂数的消失性结果，以及在格罗滕迪克群与伯恩赛德群中的新结构。

ABSTRACT

We define for arbitrary modules over a finite von Neumann algebra $\cala$ a dimension taking values in $[0,\infty]$ which extends the classical notion of von Neumann dimension for finitely generated projective $\cala$-modules and inherits all its useful properties such as additivity, cofinality and continuity. This allows to define $L^2$-Betti numbers for arbitrary topological spaces with an action of a discrete group $Γ$ extending the well-known definition for regular coverings of compact manifolds. We show for an amenable group $Γ$ that the $p$-th $L^2$-Betti number depends only on the $\ccΓ$-module given by the $p$-th singular homology. Using the generalized dimension function we detect elements in $G_0(\ccΓ)$, provided that $Γ$ is amenable. We investigate the class of groups for which the zero-th and first $L^2$-Betti numbers resp. all $L^2$-Betti numbers vanish. We study $L^2$-Euler characteristics and introduce for a discrete group $Γ$ its Burnside group extending the classical notions of Burnside ring and Burnside ring congruences for finite $Γ$. Keywords: Dimension functions for finite von Neumann algebras, $L^2$-Betti numbers, amenable groups, Grothendieck groups, Burnside groups

研究动机与目标

• 将经典的冯诺依曼维数从有限生成投射模推广至有限冯诺依曼代数上的任意模。
• 为具有离散群作用的任意拓扑空间定义 $L^2$-贝蒂数，而不仅限于紧致流形的正则覆盖。
• 研究当 $\Gamma$ 为可约群时，$L^2$-贝蒂数对奇异同调的 $\mathbb{C}\Gamma$-模结构的依赖性。
• 利用广义维数函数检测格罗滕迪克群 $G_0(\mathbb{C}\Gamma)$ 中的元素。
• 研究低阶 $L^2$-贝蒂数的消失性，并为离散群构造一个伯恩赛德群。

提出的方法

• 在有限冯诺依曼代数 $\mathcal{A}$ 的任意模上引入一个取值于 $[0,\infty]$ 的维数函数，该函数扩展了经典的冯诺依曼维数。
• 证明该广义维数具有可加性、连续性和共终性，从而确保其在同调应用中的稳健性。
• 将该维数函数应用于通过其奇异同调的 $\mathcal{A}$-模结构来定义具有群作用的拓扑空间的 $L^2$-贝蒂数。
• 利用该维数函数证明：当 $\Gamma$ 为可约群时，空间的第 $p$ 个 $L^2$-贝蒂数仅依赖于第 $p$ 个奇异同调的 $\mathbb{C}\Gamma$-模结构。
• 作为经典伯恩赛德环概念的推广，构造一个离散群 $\Gamma$ 的伯恩赛德群，利用 $L^2$-不变量。
• 分析零阶与一阶 $L^2$-贝蒂数消失的群类，以及更一般地，所有 $L^2$-贝蒂数消失的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将冯诺依曼维数从有限生成投射模推广至有限冯诺依曼代数上的任意模？
• RQ2 在何种条件下，具有群作用的空间的 $L^2$-贝蒂数仅依赖于其同调的 $\mathbb{C}\Gamma$-模结构？
• RQ3 对于哪些类别的离散群，零阶与一阶 $L^2$-贝蒂数消失？
• RQ4 广义维数函数如何检测格罗滕迪克群 $G_0(\mathbb{C}\Gamma)$ 中的元素？
• RQ5 与离散群 $\Gamma$ 相关的伯恩赛德群的结构是什么？它与 $L^2$-不变量有何关联？

主要发现

• 广义维数函数将经典冯诺依曼维数推广至有限冯诺依曼代数上的任意模，同时保持可加性、连续性与共终性。
• 当 $\Gamma$ 为可约群时，具有 $\Gamma$-作用的空间的第 $p$ 个 $L^2$-贝蒂数仅依赖于其第 $p$ 个奇异同调群的 $\mathbb{C}\Gamma$-模结构。
• 当 $\Gamma$ 为可约群时，本文利用广义维数函数检测到了格罗滕迪克群 $G_0(\mathbb{C}\Gamma)$ 中的非平凡元素。
• 若一个群的分类空间在其零阶与一阶具有平凡的 $\ell^2$-同调，则其零阶与一阶 $L^2$-贝蒂数消失。
• 本文为离散群 $\Gamma$ 构造了一个伯恩赛德群，推广了经典的伯恩赛德环构造，并将其与 $L^2$-不变量联系起来。