[论文解读] Dimensional characteristics of invariant measures for circle diffeomorphisms

Victoria Sadovskaya|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文构造了具有Liouville旋转数的$C^{\infty}$圆微分同胚，使得其唯一的不变测度表现出高度不规则的维数行为：其逐点维数和盒维数几乎处处不存在，而其下逐点维数与下盒维数可被精确设定为任意给定值$\beta \in [0,1]$。该构造采用改进的Anosov-Katok方法，并辅以显式的定量估计，以精确控制测度的局部标度性质。

ABSTRACT

We consider pointwise, box, and Hausdorff dimensions of invariant measures for circle diffeomorphisms. We discuss the cases of rational, Diophantine, and Liouville rotation numbers. Our main result is that for any Liouville number $τ$ there exists a $C^\infty$ circle diffeomorphism with rotation number $τ$ such that the pointwise and box dimensions of its unique invariant measure do not exist. Moreover, the lower pointwise and lower box dimensions can equal any value $0\le β\le 1$.

研究动机与目标

• 研究具有无理旋转数的圆微分同胚的不变测度的维数特性——包括逐点维数、盒维数和Hausdorff维数。
• 解决Liouville旋转数情形下这些维数的行为问题，这类旋转数可被有理数快速逼近，且已知会产生非均匀动力学。
• 显式构造具有给定Liouville旋转数的$C^\infty$微分同胚，使得不变测度的逐点维数和盒维数几乎处处不存在。
• 证明不变测度的下逐点维数与下盒维数可被设定为任意值$\beta \in [0,1]$。

提出的方法

• 采用改进的Anosov-Katok方法，以构造具有预设旋转数的$C^\infty$微分同胚。
• 通过一系列$C^\infty$微分同胚$h_n$迭代进行构造，每一步逼近最终映射$h$，并严格控制其扭曲与标度性质。
• 不变测度$\mu$被定义为Lebesgue测度在$h_n$下前推的弱极限，以确保遍历性与唯一性。
• 通过区间标度性质与共轭映射$h$的模连续性的定量估计，控制测度的逐点维数。
• 通过归纳法证明$h$具有Hölder连续性，指数为$\beta$，从而保证几乎处处有$\underline{d}_\mu(x) \geq \beta$。
• 通过控制快速收缩的区间$E_n$上测度的衰减，确保几乎处处有$\overline{d}_\mu(x) = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$C^\infty$圆微分同胚，其不变测度的逐点维数是否可能在几乎处处不存在，即使系统是唯一遍历的？
• RQ2 对于Liouville旋转数，是否可使不变测度的下逐点维数等于任意给定值$\beta \in [0,1]$？
• RQ3 能否构造一个具有给定Liouville旋转数的$C^\infty$圆微分同胚，使得其不变测度的下盒维数与上盒维数不同？
• RQ4 旋转数的Diophantine或Liouville性质与不变测度的逐点维数的存在性或非存在性之间有何关系？
• RQ5 在Liouville情形下，是否可使不变测度的Hausdorff维数与盒维数不相等？

主要发现

• 对任意Liouville数$\tau$及任意$\beta \in [0,1]$，存在一个具有旋转数$\tau$的$C^\infty$圆微分同胚，使得对$\mu$-几乎处处的$x \in S^1$，有下逐点维数$\underline{d}_\mu(x) = \beta$，上逐点维数$\overline{d}_\mu(x) = 1$。
• 对不变测度$\mu$，有下盒维数$\underline{\dim}_B \mu = \beta$，上盒维数$\overline{\dim}_B \mu = 1$。
• Hausdorff维数$\dim_H \mu = \beta$，与下盒维数一致。
• 由于对$\mu$-几乎处处的$x$有$\underline{d}_\mu(x) = \beta < 1 = \overline{d}_\mu(x)$，因此逐点维数几乎处处不存在。
• 该构造显式实现了$\beta \in [0,1]$的所有可能取值，表明其具有完整的非均匀维数行为范围。
• 不变测度关于Lebesgue测度是奇异的，因其维数严格小于1，且与Lebesgue测度不等价。