[论文解读] Dimensionally Democratic Calculus and Principles of Polydimensional Physics

William M. Pezzaglia|ArXiv.org|Dec 8, 1999

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用 22

一句话总结

本文提出了一种基于克利福德代数的维数民主微积分，其中几何元素（向量、双矢量等）各自拥有独立的坐标，从而在重新排列几何秩的多维变换下保持不变。该理论推导出一个新的多维各向同性作用原理及自旋粒子的广义运动方程，包括在弯曲空间中协变推导佩帕佩特鲁方程，将经典力学、弦理论与超引力统一于单一克利福德流形框架之下。

ABSTRACT

A solution to the 50 year old problem of a spinning particle in curved space has been recently derived using an extension of Clifford calculus in which each geometric element has its own coordinate. This leads us to propose that all the laws of physics should obey new polydimensional metaprinciples, for which Clifford algebra is the natural language of expression, just as tensors were for general relativity. Specifically, phenomena and physical laws should be invariant under local automorphism transformations which reshuffle the physical geometry. This leads to a new generalized unified basis for classical mechanics, which includes string theory, membrane theory and the hypergravity formulation of Crawford[J. Math. Phys., {\bf 35}, 2701-2718 (1994)]. Most important is that the broad themes presented can be exploited by nearly everyone in the field as a framework to generalize both the Clifford calculus and multivector physics.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：在几何框架下对弯曲时空中的自旋粒子进行描述，且所有多重矢量阶数对称处理。
• 提出物理定律应关于局部自同构变换（如将向量重排为双矢量）保持不变，从而引出新的相对维数主义原理。
• 发展一个广义作用原理，同时最小化路径长度与自旋扫过的面积，将经典力学扩展至标准张量形式之外。
• 利用克利福德演算，在单一多维几何框架下统一经典力学、弦理论、膜理论与超引力。
• 将佩帕佩特鲁方程广义化为克利福德流形中的测地线运动，纳入曲率、挠率与自旋效应。

提出的方法

• 引入一种克利福德流形，其中每个几何元素（标量、向量、双矢量等）均拥有独立坐标，实现维数民主变换。
• 提出一个新的作用原理，最小化路径长度与自旋扫过的双矢量面积之和，导出包含速度与自旋速度交叉项的广义拉格朗日量。
• 推导多重矢量场的广义协变导数，包括在弯曲空间中对佩帕佩特鲁方程的多协变推广。
• 采用具有跨维分量（如 $h_{\alpha\mu\nu}$）的广义度量结构，以及相对论性惯性张量 $\mathcal{I}_{\alpha\beta\mu\nu}$，实现线性动量与自旋动量的非平行耦合。
• 通过将狄拉克方程中的标准动量与自旋算符分别替换为规范协变导数与对易子导数，实现对异常磁矩相互作用的包含。
• 将埃伦费斯特定理由应用于广义狄拉克方程，推导经典运动方程，目标是恢复广义佩帕佩特鲁方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量与双矢量量在几何上处于同等地位时，如何一致地描述自旋粒子在弯曲时空中的运动？
• RQ2 在几何统一框架下，同时最小化路径长度与自旋扫过的面积时，会涌现出何种新作用原理？
• RQ3 佩帕佩特鲁方程能否作为具有多维不变性的克利福德流形中的测地线运动被推导出来？
• RQ4 跨维度度量与广义惯性张量如何影响线性动量与速度之间的关系？
• RQ5 包含对易子导数的广义狄拉克方程是否可通过埃伦费斯特定理重现经典运动方程？

主要发现

• 提出了一种新作用原理，最小化路径长度与自旋扫过的双矢量面积之和，为粒子运动提供了几何统一的描述。
• 广义佩帕佩特鲁方程被推导为克利福德流形中的测地线方程，通过多协变联络同时纳入曲率、挠率与自旋效应。
• 拉格朗日量 (58) 通过跨维度度量 $h_{\alpha\mu\nu}$ 与惯性张量 $\mathcal{I}_{\alpha\beta\mu\nu}$ 包含了速度与自旋速度之间的交叉项，导致线性动量与速度不再对齐。
• 提出了一种广义狄拉克方程 (60)，其中动量与自旋算符分别被规范协变导数与对易子导数取代，引入了异常磁矩相互作用。
• 论文指出，广义狄拉克方程中的常数 $\lambda$ 可能为异常磁矩提供几何解释。
• 该框架允许在单一克利福德代数结构下统一处理经典力学、弦理论、膜理论与超引力。