[论文解读] Dimensions of random covering sets in Riemann manifolds

De‐Jun Feng, Esa Järvenpää+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用 4

一句话总结

该论文为在d维黎曼流形上通过独立变量随机定位的随机覆盖集的几乎必然Hausdorff维数建立了公式，其中流形上具有非奇异测度。在生成集满足密度条件且位置分布非奇异的条件下，证明了打包维数几乎必然为d。

ABSTRACT

Let ${\pmb M}$, ${\pmb N}$ and ${\pmb K}$ be $d$-dimensional Riemann manifolds. Assume that ${\bf A}:=(A_n)_{n\in{\Bbb N}}$ is a sequence of Lebesgue measurable subsets of ${\pmb M}$ satisfying a necessary density condition and ${\bf x}:=(x_n)_{n\in {\Bbb N}}$ is a sequence of independent random variables which are distributed on ${\pmb K}$ according to a measure which is not purely singular with respect to the Riemann volume. We give a formula for the almost sure value of the Hausdorff dimension of random covering sets ${\bf E}({\bf x},{\bf A}):=\limsup_{n o\infty}A_n(x_n)\subset {\pmb N}$. Here $A_n(x_n)$ is a diffeomorphic image of $A_n$ depending on $x_n$. We also verify that the packing dimensions of ${\bf E}({\bf x},{\bf A})$ equal $d$ almost surely.

研究动机与目标

• 确定在黎曼流形上通过随机定位可测集的像所形成的随机覆盖集的几乎必然Hausdorff维数的值。
• 建立此类随机集的打包维数几乎必然等于流形维数d的条件。
• 将环面情形下的结果推广至一般的黎曼流形，推广了关于limsup集和随机覆盖的早期工作。
• 给出一个以量纲函数和生成集测度相关级数表示的Hausdorff维数公式。
• 解决一般Lebesgue可测生成集情形下维数水平集的可测性问题。

提出的方法

• 使用limsup构造：E(x,A) = limsup_{n→∞} A_n(x_n)，其中A_n(x_n)是依赖于随机点x_n的A_n的微分同胚像。
• 应用Borel-Cantelli引理和Fubini定理分析随机覆盖集的几乎必然性质。
• 引入一个量纲函数h，并定义一个与h下A_n测度相关的量G_h(A_n)，该量控制维数行为。
• 采用改进的Hausdorff测度H^h和无限Hausdorff内容H_∞^h，通过级数收敛性分析维数。
• 使用加倍量纲函数和线性插值构造满足必要正则性条件的等价量纲函数。
• 应用几何测度论中的结果，包括Dellacherie和Mattila-Mauldin的结果，以解决维数水平集的可测性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼流形上通过随机定位可测集的像形成的随机覆盖集的几乎必然Hausdorff维数是多少？
• RQ2 在何种条件下，此类随机覆盖集的打包维数几乎必然等于流形维数d？
• RQ3 级数∑G_h(A_n)的收敛或发散性如何与随机覆盖集的正H^h测度相关？
• RQ4 随机覆盖集的维数是否几乎必然为常数？在何种条件下水平集是可测的？
• RQ5 在维数公式中，能否将条件∑G_h(A_n) = ∞替换为∑H_∞^h(A_n) = ∞？不等式H_∞^h(F) ≤ C G_h(F)是否成立？

主要发现

• 随机覆盖集E(x,A)的几乎必然Hausdorff维数由临界指数s给出，其中当h(r) = r^s时，∑G_h(A_n)发散。
• E(x,A)的打包维数几乎必然等于环境黎曼流形的维数d。
• 若对于某个量纲函数h有∑G_h(A_n) = ∞，则H^h(E(x,A)) > 0几乎必然成立；若级数对更慢的量纲h'发散，则H^h(E(x,A)) = ∞几乎必然成立。
• 条件“r ↦ h(r)r^{−d+ε}为递减”确保了证明中估计测度项所必需的正则性。
• 不等式H_∞^h(F) ≤ C G_h(F)一般不成立，即使对于球体也是如此，原因在于H_∞^h与G_h的渐近行为不同。
• 若A_n为解析集，则水平集F_s = {x : dim E(x,A) = s}关于解析集生成的σ代数可测，但对一般Lebesgue可测A_n，其可测性尚属开放问题。