[论文解读] Dimer coverings on the Sierpinski gasket with possible vacancies on the outmost vertices

Shu-Chiuan Chang, Lung‐Chi Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文推导出在 Sierpinski gasket 分形 $SG_d(n)$（$d = 2,3,4,5$）以及广义 $SG_{d,b}(n)$（$b=3,4,5$）上，当顶点总数为奇数时允许最外层顶点留空的 dimers 覆盖的确切表达式。对于 $d=2$，精确计算了每格点的熵 $S_{SG_d}$，而对于 $d=3,4,5$，通过快速收敛的紧致上下界，提供了超过 100 位有效数字的高精度数值估计。$SG_2(n)$ 的熵精确值为 $\ln(2)/3 \approx 0.231049$。

ABSTRACT

We present the number of dimers $N_d(n)$ on the Sierpinski gasket $SG_d(n)$ at stage $n$ with dimension $d$ equal to two, three, four or five, where one of the outmost vertices is not covered when the number of vertices $v(n)$ is an odd number. The entropy of absorption of diatomic molecules per site, defined as $S_{SG_d}=\lim_{n o \infty} \ln N_d(n)/v(n)$, is calculated to be $\ln(2)/3$ exactly for $SG_2(n)$. The numbers of dimers on the generalized Sierpinski gasket $SG_{d,b}(n)$ with $d=2$ and $b=3,4,5$ are also obtained exactly. Their entropies are equal to $\ln(6)/7$, $\ln(28)/12$, $\ln(200)/18$, respectively. The upper and lower bounds for the entropy are derived in terms of the results at a certain stage for $SG_d(n)$ with $d=3,4,5$. As the difference between these bounds converges quickly to zero as the calculated stage increases, the numerical value of $S_{SG_d}$ with $d=3,4,5$ can be evaluated with more than a hundred significant figures accurate.

研究动机与目标

• 推导当总顶点数为奇数时，允许最外层顶点留空的 Sierpinski gasket $SG_d(n)$ 上 dimers 覆盖的计数。
• 精确计算每格点的 dimers 吸附熵 $S_{SG_d} = \lim_{n\to\infty} \ln N_d(n)/v(n)$，$d=2$ 时为精确值，$d=3,4,5$ 时为高精度数值结果。
• 将模型推广至 $SG_{d,b}(n)$（$b \geq 3$），并为 $d=2$，$b=3,4,5$ 推导出精确的熵表达式。
• 为高维（$d=3,4,5$）的 $S_{SG_d}$ 建立快速收敛的上下界，以实现高精度数值计算。
• 将 fractal Sierpinski gasket 上 dimers 覆盖的熵与规则 $d$-维超立方晶格 $\mathcal{L}_d$ 上的熵进行比较。

提出的方法

• 利用 Sierpinski gasket $SG_d(n)$ 的递归自相似性，推导出考虑最外层顶点留空时，dimers 覆盖数 $N_d(n)$ 的精确递推关系。
• 应用转移矩阵与递归分解技术，对 $SG_{d,b}(n)$ 上的 dimers 配置进行建模，特别针对 $b=3,4,5$ 的二维情形。
• 定义熵为 $S_{SG_d} = \lim_{n\to\infty} \ln N_d(n)/v(n)$，并利用闭式解为 $d=2$ 和 $b=3,4,5$ 推导出精确值。
• 通过分析有限阶段 $n$ 时 $N_d(n)$ 的增长，利用递归不等式，为 $d=3,4,5$ 的 $S_{SG_d}$ 建立上下界。
• 证明 $S_{SG_d}$ 的上下界之差随阶段 $n$ 增加而呈指数级减小，从而实现超过 100 位有效数字的数值计算。
• 通过渐近分析与误差传播估计（例如 $\epsilon_5(m)$）界定收敛速率，并验证高精度结果的可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $v(n)$ 为奇数时，2D Sierpinski gasket $SG_2(n)$ 上 dimers 覆盖的确切数量是多少（若一个最外层顶点被留空）？
• RQ2 在 $SG_d(n)$ 上，$d=2,3,4,5$ 的 dimers 覆盖每格点的熵 $S_{SG_d}$ 是多少？其与规则晶格上的熵相比如何？
• RQ3 能否为 $d=3,4,5$ 的 $S_{SG_d}$ 建立紧致上下界，使得熵可计算至超过 100 位有效数字？
• RQ4 在广义 Sierpinski gasket $SG_{2,b}(n)$ 中，参数 $b$ 的变化如何影响熵 $S_{SG_{2,b}}$？
• RQ5 Sierpinski gasket 分形上 dimers 覆盖的熵与规则 $d$-维超立方晶格 $\mathcal{L}_d$ 上的熵相比如何？

主要发现

• 2D Sierpinski gasket $SG_2(n)$ 的熵精确值为 $S_{SG_2} = \ln(2)/3 \approx 0.2310490602$。
• 对于广义 2D Sierpinski gasket $SG_{2,b}(n)$，熵精确值为：$b=3$ 时 $\ln(6)/7 \approx 0.2559656385$，$b=4$ 时 $\ln(28)/12 \approx 0.2776837092$，$b=5$ 时 $\ln(200)/18 \approx 0.2943509648$。
• 5D Sierpinski gasket $SG_5(n)$ 的熵被数值计算为 $S_{SG_5} = 0.67042810305\ldots$，精度超过 100 位有效数字。
• 对于 $d=3,4,5$，$S_{SG_d}$ 的上下界随阶段 $n$ 增加而快速收敛，支持高精度数值计算。
• 熵 $S_{SG_d}$ 随维度 $d$ 增加而增大；对于 $d=2$，在 $SG_{2,b}(n)$ 中，熵随 $b$ 增大而略有上升。
• 对于 $d=2,3$，$S_{SG_d}/S_{\mathcal{L}_d}$ 的比值小于 1，表明随着 $d$ 增大，Sierpinski gasket 上的熵从下方趋近于超立方晶格的熵。