[论文解读] DIMON: Learning Solution Operators of Partial Differential Equations on a Diffeomorphic Family of Domains

Minglang Yin, Nicolas Charon+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2024

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 7

一句话总结

DIMON 引入一个通用的算子学习框架，用于通过将输入传输到参考域、在参考域学习潜在算子并映射回去，来预测一族同胚域上的偏微分方程（PDE）解。它在非刚性几何上展示了静态和时变 PDE 的示例。

ABSTRACT

The solution of a PDE over varying initial/boundary conditions on multiple domains is needed in a wide variety of applications, but it is computationally expensive if the solution is computed de novo whenever the initial/boundary conditions of the domain change. We introduce a general operator learning framework, called DIffeomorphic Mapping Operator learNing (DIMON) to learn approximate PDE solutions over a family of domains $\{Ω_θ}_θ$, that learns the map from initial/boundary conditions and domain $Ω_θ$ to the solution of the PDE, or to specified functionals thereof. DIMON is based on transporting a given problem (initial/boundary conditions and domain $Ω_θ$) to a problem on a reference domain $Ω_{0}$, where training data from multiple problems is used to learn the map to the solution on $Ω_{0}$, which is then re-mapped to the original domain $Ω_θ$. We consider several problems to demonstrate the performance of the framework in learning both static and time-dependent PDEs on non-rigid geometries; these include solving the Laplace equation, reaction-diffusion equations, and a multiscale PDE that characterizes the electrical propagation on the left ventricle. This work paves the way toward the fast prediction of PDE solutions on a family of domains and the application of neural operators in engineering and precision medicine.

研究动机与目标

• 促使在不同域及边界/初始条件下快速预测 PDE 解。
• 提出一个将可微同胚映射与神经算子结合的通用框架，用于在参考域上学习解算子。
• 通过对可微同胚域族的改编式通用近似定理提供理论基础。
• 在参数化和非参数化域上展示该框架对静态和时变PDE的应用，包括心脏几何的案例。
• 将该框架拓展至PDE解的泛函，以及与精密医疗相关的多尺度或耦合ODE-PDE设置。

提出的方法

• 通过微分同胚将来自每个域的输入数据传输到固定的参考域—在参考域提取潜在的PDE算子。
• 定义一个潜在算子 F0，将形状参数和在参考域上传输的输入映射到在参考域上拉回的解。
• 用神经算子（多输入算子网络）近似 F0，使用几何分支（Geo）处理形状信息和边界条件分支（BC）处理边界数据，以及一个接收参考域坐标的主干。
• 通过逆微分同胚将学习到的参考域解映射回原始域。
• 给出对可微同胚域族的通用近似定理的理论扩展，在合适条件下确保近似保证。
• 讨论 Omega0 的实际选择、微分同胚（如 LDDMM）以及用于编码几何的降阶形状表示（如 PCA）的实践选取。

实验结果

研究问题

• RQ1 神经算子是否可以在一族可微同胚域上学习 PDE 解算子，而无需对每个域都重新训练？
• RQ2 如何整合可微同胚映射与参考域，以在保持PDE结构的同时实现快速预测？
• RQ3 通过改编的通用近似定理，在参数域族上学习算子有哪些理论保证？
• RQ4 DIMON 框架在参数化和非参数化域上的静态与时变PDE（包括逼真的解剖几何）上的表现如何？
• RQ5 对于估计域的微分同胚的不同方法（如仿射与 LDDMM）以及对降阶形状表示的鲁棒性如何？

主要发现

• DIMON 在一族同胚域上实现了准确的PDE解预测，在传输到参考域后，拉普拉斯方程和反应扩散示例的误差很低。
• 在参数化的二维域上的拉普拉斯方程预测中，测试用例的最大绝对误差低于0.02，测试用例的相对L2错误约为0.008。
• 在时变非线性反应-扩散示例中，跨测试用例的平均相对L2误差取决于微分同胚编码方法，范围为0.032到0.075。
• 该方法支持仿射和基于 LDDMM 的微分同胚，在相对 L2 误差方面对不同方法具有可比的鲁棒性。
• DIMON 演示了如何在耦合的 ODE-PDE 设置中学习 PDE 解的泛函，类似于在患者特定几何中的心脏电传播。
• 一个实际工作流程包括选择参考域、通过微分同胚计算点对应、将几何降维为低维形状参数、将输入/解传输到参考域、训练神经算子，以及将预测映射回去。