[论文解读] Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces

Lior Fishman, David Simmons+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Jan 23, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 87被引用 18

一句话总结

本文在广义的Gromov双曲度量空间中，针对群作用的极限集，建立了丢番图逼近的全面理论，将经典结果（如Khinchin定理和Jarník–Besicovitch定理）推广至非几何有限群和非有限维空间，突破了传统限制。通过引入基于划分结构和Schmidt游戏的统一框架，证明了不良逼近集合为绝对获胜集合，并指出除非群为拟凸余紧，否则径向极限集的Patterson–Sullivan测度为零。

ABSTRACT

In this paper, we provide a complete theory of Diophantine approximation in the limit set of a group acting on a Gromov hyperbolic metric space. This summarizes and completes a long line of results by many authors, from Patterson's classic '76 paper to more recent results of Hersonsky and Paulin ('02, '04, '07). Concrete examples of situations we consider which have not been considered before include geometrically infinite Kleinian groups, geometrically finite Kleinian groups where the approximating point is not a fixed point of the group, and groups acting on infinite-dimensional hyperbolic space. Moreover, in addition to providing much greater generality than any prior work of which we are aware, our results also give new insight into the nature of the connection between Diophantine approximation and the geometry of the limit set within which it takes place. Two results are also contained here which are purely geometric: a generalization of a theorem of Bishop and Jones ('97) to Gromov hyperbolic metric spaces, and a proof that the uniformly radial limit set of a group acting on a proper geodesic Gromov hyperbolic metric space has zero Patterson--Sullivan measure unless the group is quasiconvex-cocompact. The latter is an application of a Diophantine theorem.

研究动机与目标

• 将经典丢番图逼近定理（如Khinchin定理和Jarník–Besicovitch定理）推广至任意强离散群在一般Gromov双曲度量空间上的作用。
• 去除几何有限性、正规性或空间有限维性的限制性假设，从而涵盖新的情形，如几何无限的Kleinian群和无限维双曲空间。
• 阐明极限集结构与逼近的丢番图性质之间的几何联系，通过将Hausdorff内容衰减速率与径向极限集的稠密度相关联。
• 利用丢番图定理作为关键工具，证明除非群为拟凸余紧，否则均匀径向极限集的Patterson–Sullivan测度为零。
• 通过划分结构和Schmidt游戏建立一个通用框架，统一并强化该领域先前的结果。

提出的方法

• 在Gromov双曲空间的Gromov边界上构造划分结构，以模拟逼近动力学并定义获胜集合。
• 应用Schmidt游戏及绝对获胜概念，证明对任意ξ属于径向极限集，不良逼近点集$\mathrm{BA}_{\xi}$为绝对获胜集合。
• 使用势函数游戏控制轨道计数函数的增长，并推导逼近集合测度的渐近估计。
• 通过将径向极限集的维数与Patterson–Sullivan测度的衰减速率关联，将Bishop–Jones定理推广至Gromov双曲度量空间。
• 在Schmidt游戏中中采用位置策略，确保Alice可避开围绕轨道点的$\varepsilon b^{-d(o,g^{-1}(x))}$-球，从而证明结果为不良逼近点。
• 利用Ahlfors正则性和均匀完美性，验证所构造的划分结构对$t < s$为$t$-厚，从而在获胜集合内构造Ahlfors正则子集。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典丢番图逼近定理如何推广至任意强离散群在一般Gromov双曲度量空间上的作用？
• RQ2 径向极限集的Hausdorff内容衰减速率与极限集中点的丢番图逼近性质之间存在何种精确的几何关系？
• RQ3 在何种条件下，均匀径向极限集具有正Patterson–Sullivan测度，何时为零？
• RQ4 Schmidt游戏中的绝对获胜概念能否推广至非几何有限群和非正规空间？
• RQ5 划分结构与获胜集合在多大程度上可用于在度量空间中构造获胜集合内的Ahlfors正则子集？

主要发现

• 对于径向极限集中的任意点$\xi$，其不良逼近点集$\mathrm{BA}_{\xi}$在空间的Gromov边界上为绝对获胜集合。
• Jarník–Besicovitch定理被推广，表明径向极限集中良好逼近点集的Hausdorff维数由径向极限集内容的衰减速率决定。
• Khinchin定理被扩展至Gromov双曲空间，建立了级数$\sum_{g \in G} \psi(d(o, g^{-1}(x)))$收敛或发散的判别准则，其依据为逼近函数$\psi$。
• 在完备测地Gromov双曲空间上作用的群，其均匀径向极限集的Patterson–Sullivan测度为零，除非该群为拟凸余紧。
• 对于任意Ahlfors $s$-正则度量空间及任意$t < s$，存在一个极限集包含于任意获胜集合内的$t$-厚划分结构，从而表明此类集合中存在Ahlfors $t$-正则子集。
• 本文通过位置策略和不相交球族构造了Schmidt游戏中的获胜策略，确保结果避开围绕轨道点的$\varepsilon b^{-d(o,g^{-1}(x))}$-球，从而证明$\eta \in \mathrm{BA}_{\xi}$。