[论文解读] Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces (extended version)

Lior Fishman, David Simmons+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文在Gromov双曲度量空间上群作用的极限集内建立了丢番图逼近的完整理论，将先前的工作扩展至几何无限和有限的Kleinian群，以及无限维双曲空间。证明了Bishop-Jones定理的推广，并表明除非该群为拟凸余紧，否则一致径向极限集的Patterson–Sullivan测度为零，揭示了丢番图逼近背后深层的几何-动力联系。

ABSTRACT

In this paper, we provide a complete theory of Diophantine approximation in the limit set of a group acting on a Gromov hyperbolic metric space. This summarizes and completes a long line of results by many authors, from Patterson's classic '76 paper to more recent results of Hersonsky and Paulin ('02, '04, '07). Concrete examples of situations we consider which have not been considered before include geometrically infinite Kleinian groups, geometrically finite Kleinian groups where the approximating point is not a fixed point of the group, and groups acting on infinite-dimensional hyperbolic space. Moreover, in addition to providing much greater generality than any prior work, our results also give new insight into the nature of the connection between Diophantine approximation and the geometry of the limit set within which it takes place. Two results are also contained here which are purely geometric: a generalization of a theorem of Bishop and Jones ('97) to Gromov hyperbolic metric spaces, and a proof that the uniformly radial limit set of a group acting on a proper geodesic Gromov hyperbolic metric space has zero Patterson--Sullivan measure unless the group is quasiconvex-cocompact. The latter is an application of a Diophantine theorem.

研究动机与目标

• 统一并扩展先前关于Gromov双曲空间上群作用极限集内丢番图逼近的研究结果。
• 解决此前未被考虑的情形，包括几何无限Kleinian群以及在无限维双曲空间上的作用。
• 阐明丢番图逼近与极限集结构之间内在的几何联系。
• 通过丢番图理论建立纯粹的几何结果作为推论，从而深化对极限集几何结构的理解。

提出的方法

• 将Patterson与Paulin的方法适配至一般Gromov双曲度量空间的设定中。
• 利用Patterson–Sullivan测度分析极限集内逼近集的大小与分布。
• 引入并分析一致径向极限集作为逼近框架中的关键几何对象。
• 应用动力学与几何方法，证明极限集的测度性质。
• 将Bishop–Jones定理关于Hausdorff维数的结果推广至Gromov双曲空间。
• 通过丢番图定理推导出Patterson–Sullivan测度在一致径向极限集上消失的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群作用于Gromov双曲度量空间时，尤其在群为几何无限或空间为无限维的情况下，丢番图逼近在极限集中的行为如何？
• RQ2 极限集的结构与其中点的丢番图逼近性质之间存在何种精确的几何关系？
• RQ3 一致径向极限集在在多大程度上携带Patterson–Sullivan测度？这对其群的动力学性质有何含义？
• RQ4 Bishop–Jones定理关于维数的结果能否超越实双曲空间，推广至任意Gromov双曲度量空间？
• RQ5 在此设定下，丢番图逼近定理会引出何种几何后果？

主要发现

• 在完备测地Gromov双曲度量空间上作用的群，其一致径向极限集的Patterson–Sullivan测度为零，除非该群为拟凸余紧。
• 在Gromov双曲度量空间上建立了Bishop–Jones定理关于Hausdorff维数的推广。
• 本文为一般Gromov双曲空间上群作用的极限集提供了完整的丢番图逼近理论，包括此前未被处理的情形。
• 丢番图逼近与极限集几何之间的联系被证明是内在且具有定量意义的。
• 该理论适用于几何无限Kleinian群以及在无限维双曲空间上的作用，扩展了已知结果。
• 通过丢番图性质完全刻画了一致径向极限集的测度行为，从而提出了一个关于拟凸余紧性的全新几何判据。