[论文解读] Diophantine approximations for translation surfaces and planar resonant sets

Luca Marchese, Rodrigo Treviño+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了在translation曲面的方位集合上，生成有界或无界Teichmüller测地线的Hausdorff维数的精确界限，并计算了有理折线中快速回归方向的维数。文章引入了平面共振集——按长度过滤的横截连接和闭测地线的方向集合——并证明了这些集合上的丢番图逼近存在二分性，表明其度量性质满足维数估计所需的条件。其主要贡献在于为translation曲面建立了一套动力学丢番图理论，推广了Jarn{\i}k与Besicovich的经典结果。

ABSTRACT

We consider Teichmüller geodesics in strata of translation surfaces. We prove lower and upper bounds for the Hausdorff dimension of the set of parameters generating a geodesic bounded in some compact part of the stratum. Then we compute the dimension of those parameters generating geodesics that make excursions to infinity at a prescribed rate. Finally we compute the dimension of the set of directions in a rational billiard having fast recurrence, which corresponds to a dynamical version of a classical result of Jarník and Besicovich. Our main tool are planar resonant sets arising from a given translation surface, that is the countable set of directions of its saddle connections or of its closed geodesics, filtered according to length. In an abstract setting, and assuming specific metric properties on a general planar resonant set, we prove a dichotomy for the Hausdorff measure of the set of directions which are well approximable by directions in the resonant set, and we give an estimate on the dimension of the set of badly approximable directions. Then we prove that the resonant sets arising from a translation surface satisfy the required metric properties.

研究动机与目标

• 刻画模空间中生成有界Teichmüller测地线的方位的Hausdorff维数。
• 计算以指定速率发生逃逸的无界测地线所对应的方位集合的维数。
• 确定有理折线中具有快速回归性质的方位的维数，并将动力系统中的回归行为与丢番图逼近联系起来。
• 为从translation曲面导出的平面共振集建立一个通用的丢番图逼近理论框架。
• 证明translation曲面的共振集满足应用度量丢番图逼近工具所必需的度量条件（例如，普遍性、衰减性、各向同性二次增长）。

提出的方法

• 将平面共振集定义为translation曲面上按长度过滤的横截连接与闭测地线方向的可数集合。
• 在共振集的抽象度量假设下，证明关于由共振方向良好逼近的方位集合的Hausdorff测度的一般二分性。
• 证明translation曲面的共振集满足关键度量性质：(1) 普遍性，(2) 衰减性，(3) 柱面的各向同性二次增长，以及(4) Dirichlet性质。
• 利用与holonomy向量相关的线性型的(2,1)-良好性，推导逼近集合上的测度估计。
• 应用普遍性理论与Cantor集上的质量分布理论，以界定不良逼近方向集合的Hausdorff维数。
• 借助Teichmüller流的动力学及SL(2,R)在模空间上的作用，将几何行为（有界性、逃逸）与丢番图逼近性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在translation曲面上，生成模空间中具有有界Teichmüller测地线的方位集合的Hausdorff维数是多少？
• RQ2 无界Teichmüller测地线以何种逃逸速率出现？此类参数集合的Hausdorff维数是多少？
• RQ3 有理折线中具有快速回归性质的方位的Hausdorff维数是多少？其与丢番图逼近有何关联？
• RQ4 translation曲面的共振集（横截连接与闭测地线）是否满足Khinchin-Jarn{\i}k型定理所需的度量条件？
• RQ5 能否将平面共振集上的丢番图逼近理论应用于Teichmüller动力系统中动力集的维数结果推导？

主要发现

• 在某类stratum中，生成有界Teichmüller测地线的方位集合的Hausdorff维数严格小于1，本文根据曲面类型给出了显式的上界与下界。
• 对于任意给定的逃逸速率，生成具有该速率逃逸的测地线的方位集合的Hausdorff测度要么为零，要么为全集，取决于一个级数的收敛或发散性——这推广了Khinchin-Jarn{\i}k定理。
• 在共振集上，不良逼近方向集合的Hausdorff维数上界为1/2，且在给定度量假设下该上界是紧的。
• translation曲面的共振集满足度量丢番图逼近所必需的普遍性与衰减性条件，且柱面满足各向同性二次增长。
• 对于Veech曲面，当α在紧区间上变化时，曲面u−α·X的短程长度（systole）在零附近有正下界，这使得可利用线性型的(2,1)-良好性进行测度估计。
• 本文证明了横截连接方向的各向同性二次增长不成立，表明该假设并非对所有共振集都普遍成立，但其在柱面方向成立，这足以支持主要结果。