[论文解读] Diophantine Approximations on Definable Sets

Philipp Habegger|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在多项式有界o-极小结构中，建立了对可定义集以极小误差逼近的有界次数与高度代数点数量的统一有界性。利用o-极小性、Łojasiewicz不等式及辅助函数工具，证明此类逼近点聚集于该集合的代数轨迹附近，从而得到T^ε型界——补充了Pila-Wilkie对可定义集上有理点计数定理的结论。

ABSTRACT

Consider the vanishing locus of a real analytic function on $\mathbb{R}^n$ restricted to $[0,1]^n$. We bound the number of rational points of bounded height that approximate this set very well. Our result is formulated and proved in the context of o-minimal structure which give a general framework to work with sets mentioned above. It complements the theorem of Pila-Wilkie that yields a bound of the same quality for the number of rational points of bounded height that lie on a definable set. We focus our attention on polynomially bounded o-minimal structures, allow algebraic points of bounded degree, and provide an estimate that is uniform over some families of definable sets. We apply these results to study fixed length sums of roots of unity that are small in modulus.

研究动机与目标

• 将Pila-Wilkie计数定理扩展至逼近可定义集而非位于其上的有理点与代数点。
• 在有界次数与高度下，建立逼近可定义集至小误差范围内的代数点数量的统一有界性。
• 在多项式有界o-极小结构中工作，以确保在可定义集族中实现有效且统一的估计。
• 将结果应用于丢番图问题，特别是对具有有理角度的单位根之和的个数进行有界。
• 证明此类逼近点集中于集合的代数轨迹附近，与Pila-Wilkie对集合上点的结论现象一致。

提出的方法

• 在o-极小结构中通过可定义集的ε-邻域形式化逼近概念。
• 应用Łojasiewicz型不等式以控制点到实解析函数零点集的距离。
• 利用o-极小结构构造辅助函数，以控制导数的增长并应用Pila-Wilkie框架。
• 使用拟代数胞腔与归纳方案，将可定义集分解为复杂度可控的可处理部分。
• 应用Northcott定理与Liouville不等式，以有界次数与高度限制代数点数量。
• 通过变量数目的归纳法分析单位根之和，将问题约化为低维情形且误差可控。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多项式有界o-极小结构中，有多少个有界次数与高度的代数点可以以极小误差逼近可定义集？
• RQ2 Pila-Wilkie对可定义集上可约点的计数原理能否扩展至此类集合的有理逼近？
• RQ3 T^ε界在o-极小结构中可定义集族上的统一性如何？
• RQ4 对可定义集的逼近点与其实代数轨迹在密度与分布上的关系为何？
• RQ5 此类界能否应用于丢番图问题，如对小的单位根之和进行有界？

主要发现

• 对于任意在多项式有界o-极小结构中的闭可定义集$X$，其度数不超过$e$且高度不超过$T$、在$T^{-\theta\theta\theta}$误差内逼近$X$的代数点数量，对任意$\theta > 0$，均有界于$cT^{\theta}$。
• 若$X$无正维代数轨迹（即$X^{\text{alg}} = \bigcirc$），则此类逼近代数点数量仍被有界于$cT^{\theta}$，表明逼近点仍聚集于代数结构附近。
• 该界在可定义集族中保持统一，常数仅依赖于集合、度数$e$及$\theta$。
• 结果应用于单位根之和：对足够大的$c$与$\lambda$，模小于$p^{-\lambda}$的固定$n$次单位根线性组合的素数$p \leq T$的数量至多为$cT^{\epsilon}$。
• 证明依赖于Łojasiewicz不等式与归纳法，表明若和较小，则对应角度元组必接近零集代数轨迹中的某点。
• 该方法通过聚焦于逼近而非包含，避免了依赖原始Pila-Wilkie定理的全部复杂性，从而在误差参数上实现了更强的统一性。