[论文解读] Diophantine Approximations on Fractals

Manfred Einsiedler, Lior Fishman+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文证明，某些分形（如三分康托尔集和对称平面分形）上几乎所有点的连分数展开式均包含所有有限模式，这意味着它们是良好逼近的。通过动力系统技术，特别是对角线和双曲作用下的不变测度，作者证明了在正 Hausdorff 维数的分形上，良好逼近（WA）、非 Dirichlet 改进型以及性质 C 向量的普遍性。

ABSTRACT

We exploit dynamical properties of diagonal actions to derive results in Diophantine approximations. In particular, we prove that the continued fraction expansion of almost any point on the middle third Cantor set (with respect to the natural measure) contains all finite patterns (hence is well approximable). Similarly, we show that for a variety of fractals in [0,1]^2, possessing some symmetry, almost any point is not Dirichlet improvable (hence is well approximable) and has property C (after Cassels). We then settle by similar methods a conjecture of M. Boshernitzan saying that there are no irrational numbers x in the unit interval such that the continued fraction expansions of {nx mod1 : n is a natural number} are uniformly eventually bounded.

研究动机与目标

• 研究在自然测度下，R 和 R² 中分形子集与丢番图逼近类（WA、DI、C）的交集。
• 确定具有正维数且在某些动力系统下不变的分形是否继承了丢番图类的普遍性或零测性。
• 解决 Boshernitzan 关于 {nx mod 1} 的连分数系数一致有界的猜想。
• 将度量丢番图逼近在光滑流形上的结果推广到具有自相似或对称结构的分形集上。

提出的方法

• 利用 Einsiedler、Lindenstrauss 和 Katok（2006）以及 Lindenstrauss（2006）关于对角线和双曲作用下不变测度的测度分类结果。
• 应用模面上的测地流和 Gauss 映射动力学，将连分数展开式与轨道行为联系起来。
• 使用单位切丛中的截面 π(C) 来建模 Gauss 映射和首次返回动力学，将符号动力系统与连分数联系起来。
• 利用对角群 {at} 和幂零流 {uv} 的作用，通过轨道分布分析逼近性质。
• 应用通过熵和局部维数函数定义的测度精确维数概念，以确保正 Hausdorff 维数。
• 通过马尔可夫分划和有限型子移位将问题约化为符号动力系统，将测度转移到分形集上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对 ×n 或双曲自同构不变的正 Hausdorff 维数分形上，良好逼近向量的集合是否仍为普遍的？
• RQ2 在 R² 中的对称分形上，几乎所有点是否都不是 Dirichlet 改进型的，并且是否满足 Cassels 的性质 C？
• RQ3 康托尔集上几乎所有点的连分数展开式是否都包含所有有限模式？
• RQ4 是否存在某个无理数 x ∈[0,1]，使得 {nx mod 1} 的连分数系数一致最终有界？

主要发现

• 对于中三分康托尔集 C，配备其自然 Hausdorff 测度，几乎每个 x ∈C 的连分数展开式均包含所有有限模式，因此是良好逼近的。
• 康托尔集与坏逼近数（BA）集合的交集具有完整的 Hausdorff 维数 log 2 / log 3，但其在 C 上的自然测度下为零测集。
• 对于 [0,1]² 中任意具有正 Hausdorff 维数且在双曲自同构下不变的分形，几乎所有点都不是 Dirichlet 改进型的，并且满足 Cassels 的性质 C。
• R² 中具有性质 C 的向量集合是普遍的，且这种普遍性被继承于 R² 中对称分形上的不变测度。
• 本文证实了 Boshernitzan 的猜想：不存在无理数 x ∈[0,1]，使得 {nx mod 1} 的连分数系数一致最终有界。
• 作者证明了此类分形上的自然测度具有精确维数，且该维数与相关动力系统的熵相关。