[论文解读] Diophantine Equation $X^4+Y^4=2(U^4+V^4)$

Farzali Izadi, Kamran Nabardi|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用椭圆曲线理论，通过同余数曲线 $y^2 = x^3 - 36x$，生成了四次丢番图方程 $X^4 + Y^4 = 2(U^4 + V^4)$ 的无穷多组整数解。其关键贡献在于，基于该曲线的 Mordell-Weil 群（秩为 1，生成元为 $(-3, 9)$）构造出一个参数解族，通过递归的点乘法与归一化处理，获得本原解。

ABSTRACT

In this paper, the theory of elliptic curves is used for finding the solutions of the quartic Diophantine equation $X^4+Y^4=2(U^4+V^4)$ Keywords: Diophantine equation, Elliptic curve, Congruent number

研究动机与目标

• 寻找四次丢番图方程 $X^4 + Y^4 = 2(U^4 + V^4)$ 的无穷多组整数解。
• 应用椭圆曲线理论，特别是同余数曲线，对本方程的解进行参数化。
• 通过归一化由椭圆曲线 $E_6: y^2 = x^3 - 36x$ 上的有理点导出的整数解，生成本原解。
• 通过利用关联椭圆曲线的 Mordell-Weil 群结构，证明该方程具有无穷多组解。

提出的方法

• 通过代换 $X = U + t$，$Y = U - t$，将方程 $X^4 + Y^4 = 2(U^4 + V^4)$ 变形为 $6t^2U^2 + t^4 = V^4$。
• 利用恒等式 $6Z^2 = V^4 - t^4$（其中 $Z = tU$），将方程与广义同余数问题联系起来。
• 应用引理 1.1，该引理将 $X^4 - Y^4 = cZ^2$ 的解与椭圆曲线 $E_c: y^2 = x^3 - c^2x$ 上的有理点联系起来，其中 $c = 6$。
• 利用 $E_6(bQ)$ 的生成元 $P = (-3, 9)$（秩为 1）通过标量乘法 $nP$ 生成无穷多组有理点。
• 通过在点 $(-3, 9)$ 处求值除法多项式 $\psi_n$、$\phi_n$ 和 $\omega_n$，得到 $X_n$、$Y_n$、$U_n$、$V_n$ 的参数表达式。
• 通过将每组解除以其最大公因数 $d_n = \gcd(X_n, Y_n, U_n, V_n)$ 进行归一化，得到本原解 $(A_n, B_n, C_n, D_n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 丢番图方程 $X^4 + Y^4 = 2(U^4 + V^4)$ 是否存在无穷多组整数解？
• RQ2 椭圆曲线理论能否用于参数化该四次方程的解？
• RQ3 同余数曲线在求解 $X^4 + Y^4 = 2(U^4 + V^4)$ 中起到什么作用？
• RQ4 如何利用 $E_6: y^2 = x^3 - 36x$ 上的有理点生成该方程的整数解？
• RQ5 解集的结构是怎样的？如何系统地提取本原解？

主要发现

• 椭圆曲线 $E_6: y^2 = x^3 - 36x$ 的秩为 1，且由点 $(-3, 9)$ 生成，从而可构造无穷多组有理点。
• 已知最小解 $(X, Y, U, V) = (21, 19, 20, 7)$ 来源于点 $2P = (-3, 9)$，并按因子 9 缩放得到。
• 当 $n = 2$ 时，本原解为 $(A_2, B_2, C_2, D_2) = (988521, -1661081, -336280, -1437599)$。
• 当 $n = 3$ 时，本原解为 $(A_3, B_3, C_3, D_3) = (-22394369951939, -59719152671941, -41056761311940, 43690772126393)$。
• 当 $n = 4$ 时，解的规模达到 $10^{21}$ 量级，例如 $A_4 = 5009010521962601088594641$。
• 当 $n = 5$ 时，解的分量超过 $10^{28}$，其中 $A_5 = 385103462588108468740542460457075040101$，证实了解序列的快速增长。