[论文解读] Diophantine transference inequalities: weighted, inhomogeneous, and intermediate exponents

Sam Chow, Anish Ghosh+3 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Aug 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文将基尼钦的对偶不等式推广至加权、非齐次及中间型丢番图指数情形，证明了贝列斯涅维奇–维拉尼关于非齐次中间型指数的猜想。通过外代数方法，建立了线性映射与其转置之间指数的对偶关系，推广了度量丢番图逼近中的经典结果。

ABSTRACT

We extend the Khintchine transference inequalities, as well as a homogeneous-inhomogeneous transference inequality for lattices, due to Bugeaud and Laurent, to a weighted setting. We also provide applications to inhomogeneous Diophantine approximation on manifolds and to weighted badly approximable vectors. Finally, we interpret and prove a conjecture of Beresnevich-Velani (2010) about inhomogeneous intermediate exponents.

研究动机与目标

• 将基尼钦的对偶不等式推广至非齐次丢番图逼近的加权设定。
• 将布盖奥德–劳伦特的齐次–非齐次对偶不等式推广至加权与非齐次情形。
• 解释并证明贝列斯涅维奇–维拉尼关于非齐次中间型指数的猜想。
• 通过外代数与格对偶性，统一并推广度量丢番图逼近中的经典结果。
• 建立线性映射与其转置之间加权及中间型指数的精确对偶关系。

提出的方法

• 通过权重向量 $\mathbf{s} \in \mathbb{R}_{>0}^m$ 与 $\mathbf{r} \in \mathbb{R}_{>0}^n$（满足 $\sum s_i = \sum r_j = 1$）定义的范数，引入加权丢番图指数。
• 通过涉及 $\|\mathbf{q}\|_{\mathbf{r}} < T$ 与 $\|A\mathbf{q} - \mathbf{p} - \boldsymbol{\theta}\|_{\mathbf{s}} < T^{-\omega}$ 的逼近不等式，定义非齐次与一致加权指数 $\omega_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A,\boldsymbol{\theta})$ 与 $\hat{\omega}_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A,\boldsymbol{\theta})$。
• 利用外积 $\boldsymbol{\alpha} \wedge \mathbf{Z}$ 与 $\Lambda^d(\mathbb{Z}^n)$ 中的格向量，通过外代数定义 $d$ 阶中间指数 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$。
• 利用同构 $\Lambda^{d+1}(\mathbb{R}^{n+1}) \simeq \mathbb{R}^{n+1 \choose d+1}$ 将多向量与欧氏向量对应，以进行范数比较。
• 通过映射 $f = \boldsymbol{\alpha} \wedge \cdot$ 在 $\Lambda^d(\mathbb{R}^n)$ 上及其转置的作用，建立对偶性，证明 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta}) \geq \frac{1}{\hat{\omega}_{n-1-d}(\boldsymbol{\alpha})}$，且几乎处处取等。
• 通过证明非齐次中间指数 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ 满足与转置矩阵一致指数的预测对偶关系，从而证明贝列斯涅维奇–维拉尼猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 基尼钦的对偶不等式如何在丢番图逼近中推广至加权与非齐次情形？
• RQ2 加权非齐次指数 $\omega_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A, \boldsymbol{\theta})$ 与转置矩阵对应指数之间的关系为何？
• RQ3 能否利用几何与代数方法严格证明贝列斯涅维奇–维拉尼关于非齐次中间指数的猜想？
• RQ4 通过外代数定义的中间指数如何与经典的同时型与对偶型指数相关联？
• RQ5 向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的 $d$ 阶中间指数与其实对偶矩阵的一致指数之间的确切对偶关系为何？

主要发现

• 本文建立了加权对偶不等式：$\omega_{\mathbf{s},\mathbf{r}}(A, \boldsymbol{\theta}) \geq \frac{1}{\hat{\omega}_{\mathbf{r},\mathbf{s}}({}^tA, \boldsymbol{\theta}')}$ 对某个 $\boldsymbol{\theta}'$ 成立，推广了基尼钦的结果。
• 证明了非齐次中间指数 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ 满足 $\omega_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta}) \geq \frac{1}{\hat{\omega}_{n-1-d}(\boldsymbol{\alpha})}$，且对几乎所有 $\boldsymbol{\theta}$ 取等，从而确认了贝列斯涅维奇–维拉尼猜想。
• $d=0$ 与 $d=n-1$ 情况分别恢复经典的同时型与对偶型指数，验证了与已知定义的一致性。
• 证明了一致指数 $\hat{\omega}_d(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta})$ 在适当归一化下与指数 $\omega_{n-1-d}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\theta}')$ 构成对偶。
• 作者表明，通过外代数建立的中间指数框架，为所有秩的丢番图指数提供了一种自然且一致的推广。
• 从主要对偶不等式中导出了在流形上进行非齐次丢番图逼近以及加权不良逼近向量的应用。