[论文解读] Dirac Charge Quantization and Generalized Differential Cohomology

Daniel S. Freed|ArXiv.org|Nov 24, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 51

一句话总结

本文提出了一种广义微分上同调框架，用于在量子规范场论中表述狄拉克电荷量子化，将电荷流和磁荷流统一为上循环，规范场统一为上链。该研究证明，高阶形式规范场和自对偶规范场中的电荷——如II型弦理论中的Ramond-Ramond场和I型中的2-形式场——源于K-理论和KO-理论等广义上同调理论，且异常抵消在此形式体系中自然表达。

ABSTRACT

The main new result here is the cancellation of global anomalies in the Type I superstring, with and without D-branes. Our argument here depends on a precise interpretation of the 2-form abelian gauge field using KO-theory; then the anomaly cancellation follows from a geometric form of the full Atiyah-Singer index theorem for families of Dirac operators. This is a refined version of the Green-Schwarz mechanism. It seems that a geometric interpretation of this mechanism-the cancellation of local and global fermion anomalies against local and global anomalies in the electric coupling of an abelian gauge field-always proceeds in a similar manner. For example, a previous paper with M. Hopkins (hep-th/0002027) explains the cancellation of anomalies in Type II with D-branes in these terms. The focal point of this paper is a general discussion about abelian gauge fields and Dirac charge quantization. Namely, we argue that quantization of charge is implemented in the functional integral by interpreting abelian gauge fields as cochains in a generalized differential cohomology theory. Our exposition includes elementary examples as well as examples from superstring theory. The mathematical underpinnings of differential cohomology are currently under development; we only give a sketch here. The anomaly cancellation in Type I depends on properties of a certain quadratic form in KO-theory, which we analyze in an appendix written jointly with M. Hopkins. In particular, the usual equation ``Tr R^2 = Tr F^2'' is refined to an equation in the KO-theory of spacetime.

研究动机与目标

• 为超越普通上同调的量子阿贝尔规范场论中的狄拉克电荷量子化提供几何与拓扑框架。
• 基于广义微分上同调，在单一形式体系中统一描述电荷流、磁荷流、规范场及其耦合。
• 解释为何II型超弦理论中的Ramond-Ramond电荷自然由微分K-理论描述，而非普通上同调。
• 将该形式体系扩展至自对偶规范场与扭变上同调，特别适用于具有背景B-场的I型超弦理论。
• 证明I型理论中的全局与局部异常在微分KO-理论框架下自然抵消，适用于规范场与背景电荷。

提出的方法

• 将规范场与电流建模为广义微分上同调理论中的上循环，以Cheeger-Simons特征类与光滑Deligne上同调作为基础工具。
• 利用使磁荷流平凡化的上链来表述阿贝尔规范场的行动，将麦克斯韦方程 $dF = j_B$ 推广为几何上同调恒等式。
• 在微分上同调框架内，将电荷耦合项及其异常表示为电荷流与磁荷流之间的双线性型。
• 引入广义上同调的扭变（如 $B$-扭变微分 $K$-理论）以描述II型与I型弦理论中背景场与电荷约束。
• 使用二次型定义高阶形式规范场中的自对偶性约束，该约束同时对电荷耦合项进行两倍缩放并决定异常结构。
• 将Atiyah-Singer指标定理以几何形式应用，将费米子行列式解释为微分 $KO$-、$KSp$-或 $K$-理论中线丛的截面，通过张量积同构实现异常抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 当电荷无法被普通整上同调捕捉时，如何在量子规范场论中一致地表述狄拉克电荷量子化？
• RQ2 广义上同调理论（如 $K$-理论与 $KO$-理论）在描述弦理论中Ramond-Ramond电荷与D-膜电荷时起到何种作用？
• RQ3 10维超引力理论中的自对偶规范场为何需要超越标准微分上同调的精细几何结构？
• RQ4 广义上同调理论的扭变（如 $B$-扭变 $K$-理论）如何自然编码II型与I型理论中的背景通量与电荷限制？
• RQ5 Green-Schwarz异常抵消机制如何通过微分上同调与路径积分结构在几何上实现？

主要发现

• II型超弦理论中的Ramond-Ramond电荷自然由微分 $K$-理论的像描述，而非普通上同调，从而解决了电荷量子化中的物理异常。
• 阿贝尔规范场与电荷流及磁荷流耦合时的异常，在广义微分上同调中表示为电荷流与磁荷流之间的双线性型。
• 10维超引力理论中的自对偶规范场需要一个二次型来定义自对偶性约束，该约束同时使电荷耦合项缩放两倍。
• 在I型超弦理论中，背景磁荷流自然被解释为微分 $KO$-类，自对偶性约束由一个以非平凡类为中心的非对称二次型定义。
• I型理论中时空与向量丛的上同调约束推广为包含背景电荷的 $KO$-理论条件，即使在紧化维度 $r \leq 7$ 时依然成立。
• I型理论中D1-与D5-膜的全局与局部异常在微分 $KO$-理论框架下自然抵消，为 $KO$-理论是该规范场的正确广义上同调理论提供了证据。