[论文解读] Dirac Equation in Scale Relativity

Marie-Noëlle Célérier, Laurent Nottale|ArXiv.org|Dec 21, 2001

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文通过尺度相对论框架，从第一性原理推导出狄拉克方程，该框架假设时空具有非可微性和分形结构。通过应用哈密顿的双四元数并打破微分、宇称和时间反演对称性，作者表明狄拉克旋量自然地作为分形时空中的几何对象出现，为标准量子力学中作为假定的方程提供了更深层次的起源。

ABSTRACT

The theory of scale relativity provides a new insight into the origin of fundamental laws in physics. Its application to microphysics allows to recover quantum mechanics as mechanics on a non-differentiable (fractal) space-time. The Schrödinger and Klein-Gordon equations have already been demonstrated as geodesic equations in this framework. We propose here a new development of the intrinsic properties of this theory to obtain, using the mathematical tool of Hamilton's bi-quaternions, a derivation of the Dirac equation, which, in standard physics, is merely postulated. The bi-quaternionic nature of the Dirac spinor is obtained by adding to the differential (proper) time symmetry breaking, which yields the complex form of the wave-function in the Schrödinger and Klein-Gordon equations, the breaking of further symmetries, namely, the differential coordinate symmetry ($dx^μ \leftrightarrow - dx^μ$) and the parity and time reversal symmetries.

研究动机与目标

• 不将狄拉克方程作为假定，而是作为非可微、分形时空几何原理的推论来推导该方程。
• 通过显式对称性破缺（微分时间、坐标反号、宇称和时间反演）解释狄拉克旋量的双四元数结构。
• 通过将爱因斯坦相对性原理推广至尺度变换，统一量子力学与相对论。
• 为量子理论中波函数的复数性质和旋量结构提供几何和基础性解释。

提出的方法

• 基于尺度相对论的形式体系，用分形且不可微的结构取代时空可微性的假设。
• 使用哈密顿的双四元数在四维时空框架中表示波函数并推导运动方程。
• 引入对称性破缺：微分时间（导致复波函数）、坐标反号（$dx^\mu \leftrightarrow -dx^\mu$）以及宇称/时间反演的破坏。
• 将狄拉克方程推导为分形时空中的测地线方程，类似于薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程。
• 应用康威的四元数矩阵表示法构造16个单位根的平方根矩阵，从中选择特定矩阵，从克莱因-戈尔登方程恢复狄拉克方程。
• 对双四元数波函数关于时空坐标的偏导数进行运算，避免因非交换性而对四元数变量本身求导带来的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克方程能否从尺度相对性原理出发，通过几何方式推导，而非作为假定？
• RQ2 为何狄拉克旋量具有双四元数结构？何种对称性破缺导致了这种形式？
• RQ3 时空的不可微和分形性质如何导致量子行为和旋量结构的出现？
• RQ4 时间反演、宇称和坐标反号对称性破缺在生成狄拉克方程复数和旋量结构中起什么作用？
• RQ5 如何通过四元数的矩阵表示将克莱因-戈尔登方程推广以得到狄拉克方程？

主要发现

• 狄拉克方程被推导为非可微、分形时空中的测地线方程，为该方程提供了几何起源。
• 狄拉克旋量的双四元数性质源于微分时间对称性的破缺（产生复波函数）以及额外对称性的破缺：坐标反号、宇称和时间反演。
• 通过从四元数代数中选择特定的康威16个矩阵，可从克莱因-戈尔登方程推导出狄拉克方程。
• 该方法避免使用随机力学和福克-普朗克方程，从而避免与标准量子力学产生矛盾。
• 该形式体系通过仅对时空坐标求导，而非对四元数变量本身求导，尊重了四元数的非交换性。
• 推导表明，狄拉克方程自然地从尺度相对论框架中的对称性破缺中涌现，从而在更深层次的几何层面统一了量子与相对论原理。