[论文解读] Dirac equation in terms of hydrodynamic variables

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过流体力学变量——4-流 $j^i$、自旋赝矢量 $S^i$、作用标量 $\bar{\hbar}\varphi$ 和赝标量 $\kappa$——重新表述狄拉克方程，利用克利福德代数技术消去 $\gamma$-矩阵。关键结果是狄拉克系统在流体力学形式下成为非相对论协变的，需引入额外的恒定类时矢量 $f^i$ 以恢复相对论协变性，揭示电子为非点状、内部结构复杂的系统，其内部动力学为非相对论性。

ABSTRACT

The distributed system $\mathcal{S}_D$ described by the Dirac equation is investigated simply as a dynamic system, i.e. without usage of quantum principles. The Dirac equation is described in terms of hydrodynamic variables: 4-flux $j^{i}$, pseudo-vector of the spin $S^{i}$, an action $\hbar ϕ$ and a pseudo-scalar $κ$. In the quasi-uniform approximation, when all transversal derivatives (orthogonal to the flux vector $j^i$) are small, the system $\mathcal{S}_D$ turns to a statistical ensemble of classical concentrated systems $\mathcal{S}_{dc}$. Under some conditions the classical system $\mathcal{S}_{dc}$ describes a classical pointlike particle moving in a given electromagnetic field. In general, the world line of the particle is a helix, even if the electromagnetic field is absent. Both dynamic systems $\mathcal{S}_D$ and $\mathcal{S}_{dc}$ appear to be non-relativistic in the sense that the dynamic equations written in terms of hydrodynamic variables are not relativistically covariant with respect to them, although all dynamic variables are tensors or pseudo-tensors. They becomes relativistically covariant only after addition of a constant unit timelike vector $f^{i}$ which should be considered as a dynamic variable describing a space-time property. This "constant" variable arises instead of $γ$-matrices which are removed by means of zero divizors in the course of the transformation to hydrodynamic variables. It is possible to separate out dynamic variables $κ$, $κ^i$ responsible for quantum effects. It means that, setting $κ,κ^i\equiv 0$, the dynamic system $\mathcal{S}_D$ described by the Dirac equation turns to a statistical ensemble $\mathcal{E}_{Dqu}$ of classical dynamic systems $\mathcal{S}_{dc}$.

研究动机与目标

• 将狄拉克方程视为分布介质的动力系统，而非量子力学的波方程，避免使用量子原理。
• 通过在克利福德代数框架下应用索尔-索末菲方法，用流体力学变量表达狄拉克方程，从而消除 $\gamma$-矩阵。
• 通过流体力学重构，揭示狄拉克粒子的隐藏物理性质，如内部结构与非相对论性内部自由度。
• 证明相对论协变性仅在引入恒定类时矢量 $f^i$ 后才出现，该矢量取代了 $\gamma$-矩阵的作用。

提出的方法

• 将狄拉克方程用八个体积实张量变量重述：4-流 $j^i$、自旋赝矢量 $S^i$、作用标量 $\varphi$ 和赝标量 $\kappa$，构成流体力学表示形式。
• 通过克利福德代数框架中的零因子，消除 $\gamma$-矩阵，代之以恒定类时矢量 $f^i$，以恢复相对论协变性。
• 在准均匀近似下分析系统，其中横向导数较小，将分布系统 $\mathcal{S}_D$ 简化为经典点粒子 $\mathcal{S}_{dc}$ 的统计系综 $\mathcal{E}_{Dqu}$。
• 应用统计系综技术（SET），将系综视为确定性系统，避免使用量子假设，如算符或概率振幅。
• 通过变分原理推导动力学方程，使用作用量（2.2），在约束条件下证明其与原始狄拉克作用量（2.1）等价。
• 将 $\kappa$ 和 $\kappa^i$ 的作用单独分离，确认其为量子效应的来源；当它们设为零时，系统退化为经典统计系综。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用 $\gamma$-矩阵的情况下，通过流体力学变量重新表述狄拉克方程，同时保持其物理内容？
• RQ2 当狄拉克方程用流、自旋、作用量和赝标量变量表达时，会涌现出哪些物理性质？
• RQ3 为何狄拉克方程的流体力学形式在缺少额外恒定类时矢量 $f^i$ 时无法保持相对论协变性？
• RQ4 消除 $\gamma$-矩阵揭示了狄拉克粒子内部结构的哪些本质？
• RQ5 在缺乏标准量子假设的前提下，变量 $\kappa$ 和 $\kappa^i$ 如何与量子效应相关联？

主要发现

• 狄拉克粒子并非点状粒子，而是通过流体力学重构揭示出复杂的内部结构。
• 尽管系统整体具有相对论性质，狄拉克粒子的内部自由度仍由非相对论性动力学描述。
• 相对论协变性并非流体力学变量本身固有；它需要引入恒定类时矢量 $f^i$，该矢量取代了 $\gamma$-矩阵的作用。
• 赝标量 $\kappa$ 及其矢量对应 $\kappa^i$ 被确定为导致量子效应的动力学变量。
• 当 $\kappa, \kappa^i \equiv 0$ 时，系统退化为经典点粒子 $\mathcal{S}_{dc}$ 的统计系综 $\mathcal{E}_{Dqu}$，每个粒子即使在无电磁场时也沿螺旋世界线运动。
• 流体力学形式在数学上等价于原始狄拉克方程，如在给定约束下作用量（2.1）与（2.2）的等价性所证明。