[论文解读] Dirac-Hulthen Problem with Position-dependent Mass in D-dimensions

D. Agboola|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文使用对角动量项的指数近似，提出了一种在D维空间中求解位置依赖质量与赫尔滕势结合的狄拉克方程的近似解析解。通过直接变换法，推导出相对论性能级谱和以雅可比多项式表示的两分量旋量波函数，揭示了能级的维度简并性，其行为与非相对论情形相似。

ABSTRACT

An approximate solution of the position-dependent mass Dirac equation with the Hulthen potential is obtained in $D$-dimensions within frame work of an exponential approximation of the centrifugal term. The relativistic energy spectrum is worked out using direct transformation method; the two-component spinor wavefunctions are obtained in terms of the Jacobi polynomials. Dependence of the energy levels on some parameters is discussed. The results obtained are in good agreement with previous works.

研究动机与目标

• 研究D维空间中位置依赖质量与赫尔滕势结合的狄拉克方程的束缚态解。
• 检验非相对论性赫尔滕谱中观察到的维度简并性是否在相对论框架下依然存在。
• 将指数近似应用于D维相对论性体系中ℓ ≠ 0态的角动量项。
• 利用直接变换法推导相对论性能级谱与旋量波函数。
• 分析能级对屏蔽参数α与空间维度D的依赖关系。

提出的方法

• 在自然单位制（ħ = c = 1）下，建立具有位置依赖质量μ(r)与赫尔滕势V(r)的D维狄拉克方程。
• 对角动量项应用指数近似，以处理ℓ ≠ 0态，从而实现解析求解。
• 采用直接变换法求解径向狄拉克方程，将其转化为超几何型微分方程。
• 通过变换法将两分量旋量波函数表示为雅可比多项式的形式。
• 在给定近似条件下，通过求解相应的本征值问题，推导出相对论性能级谱。
• 分析能级对屏蔽参数α与空间维度D的依赖关系，包括收敛性与简并行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非相对论性系统中观察到的赫尔滕势谱的维度简并性，在相对论性狄拉克框架下是否依然存在？
• RQ2 位置依赖质量的引入如何影响D维狄拉克体系中赫尔滕势的能级谱与波函数？
• RQ3 对角动量项采用指数近似，在D维空间中求解ℓ ≠ 0态的狄拉克方程时，其精度在多大程度上得以保持？
• RQ4 狄拉克-赫尔滕体系的能级本征值如何随屏蔽参数α与空间维度D变化？
• RQ5 在何种条件下，能级本征值会变为虚数，表示物理上不合理的解？

主要发现

• 通过直接变换法，以闭合形式推导出位置依赖质量的狄拉克-赫尔滕问题的相对论性能级谱。
• 两分量旋量波函数以雅可比多项式表示，证实了在给定近似下该体系的解析可解性。
• 对于某些屏蔽参数α的取值，能级表现出与非相对论情形类似的维度简并性。
• 当α较大时，克莱因-戈登方程与狄拉克方程的能级本征值均变为虚数，表明存在一个物理上不合理的极限。
• 与克莱因-戈登情形相比，狄拉克-赫尔滕谱在各维度间分布更均匀，且高激发态被限制在[-1, 0]区间内。
• 能级谱随维度D的增加而收敛并减小；当D较大时，能级趋近于-4（克莱因-戈登情形），且在大α下表现出n的简并性。