[论文解读] Dirac-K\"{a}hler fermions and exact lattice supersymmetry

Simon Catterall|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2005

Black Holes and Theoretical Physics被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种使用扭曲费米子表示为 Grassmann 值反对称张量场的新晶格形式化方法，实现了在有限晶格间距下精确保持标量幂零超电荷 $Q$。该方法避免了谱加倍问题，确保了规范不变性，并保持了作用量的 $Q$-精确性，从而在二维 ${ olimits}=2$ 情况下实现了具有精确超对称性的晶格理论，并自然地推广到四维 ${ olimits}=4$ 情况。

ABSTRACT

We discuss a new approach to putting supersymmetric theories on the lattice. The basic idea is to start from a {\\it twisted} formulation of the underlying supersymmetric theory in which the fermions are represented as grassmann valued antisymmetric tensor fields. The original supersymmetry algebra is replaced by a twisted algebra which contains a scalar nilpotent supercharge $Q$. Furthermore the action of the theory can then be written as the $Q$-variation of some function. The case of ${\\cal N}=2$ super Yang-Mills theory in two dimensions is discussed in some detail. We then present our proposal for discretizing this theory and derive the resultant lattice action. The latter is local, free of spectrum doubling, gauge invariant and preserves the scalar supercharge invariance exactly. Some preliminary numerical results are then presented. The approach can be naturally generalized to yield a lattice action for ${\\cal N}=4$ super Yang-Mills in four dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种在有限晶格间距下精确保留至少一个超对称性的超对称杨-米尔斯理论晶格形式化方法，避免微调的需要。
• 通过使用狄拉克-凯勒费米子的几何反对称张量场表示，解决晶格费米子中的谱加倍问题。
• 将扭曲的超对称代数形式化——揭示一个标量幂零超电荷 $Q$——以实现精确的晶格离散化。
• 构建一个规范不变的、局域的晶格作用量，保持 $Q$-精确性，并在连续极限中避免出现相关超对称性破缺算符。
• 通过复化场和非标准规范变换，将该方法推广至高维理论，特别是四维 ${\cal N}=4$ 超杨-米尔斯理论。

提出的方法

• 将费米子表示为 Grassmann 值反对称张量场，将其映射为单个狄拉克-凯勒场，以消除加倍问题并实现几何离散化。
• 应用场重新定义以扭曲超对称代数，揭示一个标量幂零超电荷 $Q$，使得作用量变为 $Q$-精确：$S = Q\Psi$。
• 使用前向和后向差分算子 $D^{+}_{\mu}$ 和 $D^{-}_{\mu}$ 离散化连续理论，这些算子在晶格上模拟外微分及其共轭。
• 为张量场定义非标准规范变换规则，以在晶格 $Q$-对称性下保持规范不变性。
• 将晶格作用量构造为某个函数的 $Q$-变分，以确保在有限晶格间距下对标量超电荷的精确不变性。
• 使用复化场描述四维 $D=4$、${\cal N}=4$ 理论，推测当实部截断时，连续极限下仍能保持 Wightman 恒等式而无需微调。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个二维 ${\cal N}=2$ 超杨-米尔斯理论的晶格形式化，使其在有限晶格间距下精确保留一个超对称性？
• RQ2 在扭曲形式化中使用狄拉克-凯勒费米子是否能消除费米子加倍问题，同时保持规范不变性和超对称性？
• RQ3 在使用协变差分算子进行晶格离散化时，作用量的 $Q$-精确性是否能够保持？
• RQ4 该方法能否推广至四维 ${\cal N}=4$ 超杨-米尔斯理论，使其在有限晶格间距下精确保留超对称性？
• RQ5 当复化场被截断为实数场时，标量超电荷对应的 Wightman 恒等式是否能在连续极限下无需微调而被满足？

主要发现

• 二维 ${\cal N}=2$ 超杨-米尔斯理论的晶格作用量是局域的，无谱加倍，规范不变，并且在有限晶格间距下对标量幂零超电荷 $Q$ 精确不变。
• 该方法成功推广至四维 ${\cal N}=4$ 超杨-米尔斯理论的候选晶格作用量，使用复化场和非标准规范变换。
• 使用新 RHMC 算法对 $D=2$、$U(2)$ 模型进行动力费米子模拟的初步数值结果与预期的 $Q$-精确性及无微调结果一致。
• $Q$-精确性确保了即使在将理论截断为实数场时，标量超对称性的 Wightman 恒等式在连续极限下仍被保持。
• 该方法避免了为抵消超对称性破缺项而进行微调的需要，因为晶格作用量从一开始就构造为精确的 $Q$-不变量。
• 扭曲形式化的几何特性表明，该方法可能推广至单纯形晶格，并通过随机晶格求和实现与引力的耦合，为晶格超引力开辟了新途径。