[论文解读] Dirac's Canonical Quantization Programme

Hans-Juergen Matschull|ArXiv.org|Jun 26, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用 17

一句话总结

本文將狄拉克的正則量子化程式作為一種系統方法，用於對由拉格朗日量定義的經典理論進行量子化，強調約束與規範對稱性，且不進行規範固定。該方法應用於電磁場、相對論性點粒子及早期弦理論，推導出 Klein-Gordon 方程，並揭示量子質量對規範有序常數的依賴性，物理態在規範不變的框架下通過可觀測代數約束定義。

ABSTRACT

This is a collection of lectures given at the University of Heidelberg, especially but not exclusively for people who want to learn something about the canonical approach to quantum gravity, which is however not included in these lectures. They are about Dirac's general method to construct a quantum theory out of a classical theory, which has to be defined in terms of a Lagrangian. The classical Hamiltonian formalism is reviewed, with emphasis on the relation between constraints and gauge symmetries, and quantization is carried out without any kind of gauge fixing. The method is applied to three examples: the free electro-magnetic field, the relativistic point particle, and the very first steps of string theory are carried out.

研究动机与目标

• 提供狄拉克正則量子化程式在具有約束與規範對稱性的經典系統上的全面闡述。
• 展示該方法在基本物理系統中的應用：自由電磁場、相對論性點粒子，以及弦理論的初步步驟。
• 表明物理態與可觀測量可無需規範固定而一致地定義，並保持明顯的規範不變性。
• 從弦模型的首階約束推導出中心質心運動的 Klein-Gordon 方程，並識別量子質量對規範有序常數的依賴性。
• 透過約束量子化，釐清運算子排序與弦理論中臨界維度的角色。

提出的方法

• 使用拉格朗日量表述經典理論，並推導歐拉-拉格朗日方程。
• 透過 $ p_i = \partial L / \partial v^i $ 引入共軛動量，將二階方程轉化為相空間 $ \mathcal{P} = T^*\mathcal{Q} $ 上的一階哈密頓形式。
• 從勒讓德變換識別主要與次要約束，特別是在海塞矩陣 $ \partial^2 L / \partial v^i \partial v^j $ 為奇異時。
• 將約束分類為第一類（生成規範對稱性）或第二類（需使用狄拉克括號），並運用狄拉克-伯格曼演算法處理它們。
• 透過將經典泊松括號提升為對易子，將約束作為算子方程作用於希爾伯特空間，從而構造量子理論。
• 定義物理態為所有第一類約束所消滅的態，確保規範不變性，無需引入鬼算子或規範固定條件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不進行規範固定的情況下，一致地對具有約束與規範對稱性的經典拉格朗日理論進行量子化？
• RQ2 第一類約束在生成規範變換中的角色為何？它們如何約束物理態空間？
• RQ3 哈密頓約束中的運算子排序如何影響弦的量子質量譜？
• RQ4 為何臨界維度 $ D = 26 $ 會從弦理論中正定物理態空間的要求中自然出現？
• RQ5 能否直接從弦模型中的第一類約束推導出中心質心運動的 Klein-Gordon 方程？

主要发现

• 推導出弦中心質心波函數的 Klein-Gordon 方程 $ (\widehat{P}_\mu \widehat{P}^\mu + 8\pi\hbar N)\Phi(Q) = 0 $，顯示其量子性質。
• 弦的基態表現為質量平方為 $ m^2 = 8\pi\hbar N $ 的點粒子，明確依賴於規範有序常數 $ N $。
• 由 $ v^\mu \widehat{a}_\mu(k) $ 創建的態的內積為 $ \pi\hbar k \, v^\mu v_\mu $，若 $ v^\mu $ 為類時向量，此值可能為負，顯示正定性方面可能存在問題。
• 物理態定義為所有第一類約束所消滅的態，確保規範不變性，無需引入鬼算子或規範固定條件。
• 臨界維度 $ D = 26 $ 作為一致性條件出現，以確保物理態空間的正定性，進而將 $ N $ 固定為負值。
• 該方法產生顯式規範不變的量子化，所有約束均作為希爾伯特空間上的算子方程施加，無需使用 BRST 或其他輔助形式。