[论文解读] Dirac structures and reduction of optimal control problems with symmetries

Alberto Ibort, Thalía Rodríguez de la Peña+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于Dirac结构的最优控制问题对称性约化框架，证明了变分原理的约化与庞特里亚金最大值原理的一阶条件约化完全一致。该工作将Yoshimura与Marsden的Dirac约化理论拓展至最优控制领域，与Martínez的李代数超胚方法统一，并通过Heisenberg群上的子黎曼测地线问题展示了该方法的有效性，其中约化后的动力学给出了显式的螺旋测地线。

ABSTRACT

We discuss the use of Dirac structures to obtain a better understanding of the geometry of a class of optimal control problems and their reduction by symmetries. In particular we will show how to extend the reduction of Dirac structures recently proposed by Yoshimura and Marsden [Yo09] to describe the reduction of a class of optimal control problems with a Lie group of symmetry. We will prove that, as in the case of reduction of implicit Hamiltonian or Lagrangian systems, the reduction of the variational principle and the reduction of the Dirac structure describing the Pontryagin Maximum Principle first order differential conditions coincide. Moreover they will also reproduce E. Martínez Lie algebroids reduction approach [Mr04] to optimal control systems with symmetry. The geodesic subriemannian problem considered as an optimal control problem on the Heisenberg group, will be discussed as a simple example illustrating these results.

研究动机与目标

• 开发一种基于Dirac结构的几何框架，用于对具有对称性的最优控制问题进行约化。
• 建立Lagrange-Pontryagin变分原理的约化与编码庞特里亚金最大值原理的Dirac结构约化的等价性。
• 证明该方法与Martínez的李代数超胚约化方法在对称最优控制系统中相容。
• 通过Heisenberg群上的子黎曼测地线问题说明该方法的应用。

提出的方法

• 在Pontryagin丛 M = T*P ×_P C 上利用Dirac结构编码庞特里亚金最大值原理的一阶条件。
• 将Yoshimura与Marsden的Dirac约化理论应用于李群余切丛上的标准Dirac结构。
• 通过李群G在状态空间P上的作用对系统进行约化，得到商空间 M/G ≃ g* × U。
• 推导出约化后的Dirac结构 [DG]_G(λ) ⊂ V ⊕ V*，其中 V = g ⊕ g*，由依赖于λ的双线性形式 ω/G_λ 定义。
• 施加一致性条件 ∂HP/∂u^a = ∂h/∂u^a = 0 以消除控制变量，得到约化哈密顿量 h(λ) = (λ₁² + λ₂²)/2。
• 求解约化后的Lie-Poisson系统 ˙λ = ad*_{ξ(λ)}λ，其中 ξ(λ) = ∂h/∂λ，得到显式测地线解。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优控制中变分原理的约化是否与底层Dirac结构的约化一致？
• RQ2 Yoshimura与Marsden的Dirac约化框架能否推广至具有对称性的最优控制问题？
• RQ3 约化后的Dirac结构与Martínez的对称最优控制系统的李代数超胚约化之间有何关系？
• RQ4 Heisenberg群上子黎曼测地线问题的约化动力学与解的显式形式是什么？

主要发现

• 对于具有对称性的最优控制问题，Lagrange-Pontryagin变分原理的约化与编码庞特里亚金最大值原理的Dirac结构约化是等价的。
• 约化系统满足条件 ([X]_G(λ), dh(λ)) ∈ [DG]_G(λ)，该条件重现了标准的约化Lie-Poisson方程。
• 约化哈密顿量为 h(λ) = (λ₁² + λ₂²)/2，由一致性条件 ∂h/∂u^a = 0 导出。
• 约化系统解在λ₁与λ₂上呈周期性，λ₃保持不变，具体为 λ₁(t) = cos(θ + kt), λ₂(t) = sin(θ + kt), λ₃(t) = k。
• 在Heisenberg群上重构的动力学给出R³中的显式测地线：x(t) = (1/k)sin(kt + θ) - (1/k)sinθ, y(t) = (1/k)cos(kt + θ) + (1/k)cosθ, z(t) = (1/k²)sin(kt) + t/k。
• 这些测地线是R³中的螺旋线，其投影为以(−sinθ/k, cosθ/k)为中心、半径为1/k的圆，与已知的子黎曼结构一致。